Problème proposé par Raymond Bloch
Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs.
Pour les plus courageux: démontrer que cet ensemble est unique.
Pour n≥3, le produit des six entiers consécutifs de n-2 à n+3 est
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) soit (n2+n)(n2+n-2)(n2+n-6), ou encore P(m)=m(m-2)(m-6) avec m=n(n+1) et m≥12.
Posons par ailleurs Q(m)=m(m-1)(m-2) ; nous avons donc P(m)<Q(m) pour tout m.
Q(m-1)=m3-6m2+11m-6 et Q(m-2)=m3-9m2+26m-24 ; P(m)=m3-8m2+12m Q(m-1)-P(m)=2m2-m-6 qui est strictement positif pour m>2
Q(m-2)-P(m)=-m2+14m-24 qui s’annule pour m=2 et 12, puis est strictement négatif pour m>12.
Donc Q(m-2)≤P(m)<Q(m-1) l’égalité dans la première inéquation n’ayant lieu que pour m=12, soit n=3 donc : 1+2+3+4+5+6=8+9+10
