D619. Deux fois sur trois
On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un
heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. Lesquels ?
Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.
D’après le prince des mathématiques Johann Carl Friedrich Gauss, nous avons le théorème suivant :
Théorème — Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.
Les cinq nombres de Fermat premiers connus sont : F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, and F4 = 65537
La décomposition en nombre premier de 15, 17 et 18 sont : 15=3*5 (pgcd(3,5)=1)
17 = 17 *1 (pgcd(17,1)=1) 18 = 2*3*3
Donc les deux polygones réguliers réalisables au compas et à la règle sont le pentadécagone et l’heptadécagone.
On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens
trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a,b) à savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le
pentadécagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans l’heptadécagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont
concourantes dans chacun des trois polygones.
Dans deux figures sur trois, c’est faux. Lesquelles ? Justifier votre réponse.
On peut donc conjecturer que l’octadécagone aura ces trois droites concourantes car ce polygone ne servirait sinon à rien dans ce problème. Prouvons-le.
Soit les points O14 =A; O5=B; O6=C; O8=D; O1=E; O16=F; G le point d’intersection supposé des droites (ED), (AB) et (FC).
[AB] est un diamètre du cercle passant par les 18 points du polygone (l’octadécagone) car (AB) est un axe de symétrie de ce cercle.
On peut représenter ce polygone dans le cercle trigonométrique et y représenter un repère orthonormé d’unité le rayon du cercle de centre O.
Dans ce cas, nous avons : O(0,0)
A(-1,0) B(1,0)
C(cos(20),sin(20)) car 360/18=20 D(cos(60),sin(60))
E(cos(-80),sin(-80)) F(cos(-140),sin(-140)) G(x,0)
L’équation de la droite (AB) est : y=0
L’équation de la droite (FC) est donnée par le système suivant :൜ ܽ cosሺ20ሻ + ܾ = sin ሺ20ሻܽ cosሺ140ሻ + ܾ = −sin ሺ140ሻ
L’équation de la droite (DE) est donnée par le système suivant :൜ ܽ cosሺ60ሻ + ܾ = sin ሺ60ሻܽ cosሺ80ሻ + ܾ = −sin ሺ80ሻ
L’intersection de la droite (AB) et (FC) est x1=sin(160)/(sin140)+sin(20) L’intersection de la droite (AB) et (DE) est x2=sin(140)/(sin(80)+sin(60) Après calcul x1=x2 donc ces trois droites ont le même point d’intersection
Vérifions que les trois cordes du pentadécagone ne sont pas concourantes, en utilisant la même technique que précédemment.
Dans ce polygone les 15 points sont espacés de 360/15=24° par rapport au centre du repère.
P1=A=(cos(72),sin(-72)) P2=B=(cos(48),sin(-48)) P3=C=(cos(24),sin(-24)) P6=D=(cos(48),sin(48)) P8=E=(cos(96),sin(96))
P11=F=(cos(168),sin(168))
L’équation de la droite (AD) est donnée par : ൜ܽ cosሺ72ሻ + ܾ = sin ሺ−72ሻܽ cosሺ48ሻ + ܾ = sin ሺ48ሻ
L’équation de la droite (BE) est donnée par : ൜ܽ cosሺ48ሻ + ܾ = sin ሺ−48ሻܽ cosሺ96ሻ + ܾ = sin ሺ96ሻ
L’équation de la droite (CF) est donnée par : ൜ ܽ cosሺ24ሻ + ܾ = sin ሺ−24ሻܽ cosሺ168ሻ + ܾ = sin ሺ168ሻ
L’intersection entre les droites (AD) et (BE) est donnée par l’abscisse de ce point : X1=(sin(48+96)(cos(72)-cos(48))+sin(72+48)(cos(96)-cos(48))/(sin(48-96)- 2sin(48)cos(48)+sin(72+96)+sin(48-72))
L’intersection entre les droites (CF) et (BE) est donnée par l’abscisse de ce point : X2=(-sin(24+168)(cos(48)-cos(72))+sin(72+48)(cos(168)-cos(24))/(-
sin(48+24)+sin(72+168)+sin(24-72)+sin(48-168))
X1 étant différent de X2, les trois cordes décrites dans le pentadécagone ne sont pas concourantes.
Vérifions que les trois cordes du heptadécagone ne sont pas concourantes, en utilisant la même technique que précédemment.
Dans ce polygone les 17 points sont espacés de 360/17=c~21.7° par rapport au centre du repère.
H16=A=(cos(6c),sin(-6c)) H17=B=(cos(5c),sin(-5c)) H1=C=(cos(4c),sin(-4c)) H3=D=(cos(2c),sin(-2c)) H4=E=(cos(c),sin(-c)) H7=F=(cos(2c),sin(2c))
L’équation de la droite (AD) est donnée par : ൜ܽ cosሺ6ܿሻ + ܾ = sin ሺ−6ܿሻܽ cosሺ2ܿሻ + ܾ = sin ሺ−2ܿሻ
L’équation de la droite (BE) est donnée par : ൜ܽ cosሺ5ܿሻ + ܾ = sin ሺ−5ܿሻܽ cosሺܿሻ + ܾ = sin ሺ−ܿሻ
L’équation de la droite (CF) est donnée par : ൜ܽ cosሺ4ܿሻ + ܾ = sin ሺ−4ܿሻܽ cosሺ2ܿሻ + ܾ = sin ሺ2ܿሻ
L’intersection entre les droites (AD) et (BE) est donnée par l’abscisse de ce point : X1=(sin(2c-6c)(cos c -cos(5c))+sin(c-5c)(cos(6c)-cos(2c)))/(sin(2c-c)+sin(6c+c)- sin(5c+2c)+sin(5c-6c))
L’intersection entre les droites (CF) et (BE) est donnée par l’abscisse de ce point : X2=(sin(2c)(cos c –cos(5c))-sin(-4c)(cos(2c)-cos(4c)))/(-sin(3c)+sin(5c)+sin(-3c)+sin c) Ces deux abscisses étant différents, les trois cordes de l’heptadécagone présenté ci-dessus ne sont pas concourantes.
