D279. Les trois inconnues du polygone
Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P
extérieur au polygone tel que la distance d = OP est un multiple entier > 1 de r. Le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone est égal à 1881792. En déduire n, r et d.
Solution proposée par Paul Voyer
Le produit des distances est égal à dn-rn=rn(kn-1).
Cela se démontre aisément par les nombres complexes.
En effet, si les xi sont les racines nièmes de 1, alors le produit (a-x1)(a-x2)…(a-xn) est un nombre réel qui représente le produit des vecteurs reliant P aux sommets.
N.B. Si n est impair, on peut avoir à considérer aussi le produit (a+x1)(a+x2)…(a+xn), qui correspond à la seconde configuration des points O, P, S sommet. (le point central est S ou O).
Il vaut :
an+(-a)n-1
xi+(-a)n-2
xij+…+ (-1)n
xi = an+0+0+… ±
xi = an±1.Le signe est "-" si n est pair, "+" ou "-" si n est impair, selon que le point central de O, S, P est S ou O.
rk doit être proche de la racine nième de 1881792, légèrement supérieur si n est pair.
1881792 = 2635112=
n
n
rk k1 1
L'essai de valeurs successives de n (n1881792), montre que la seule solution est : n=5, r=6, k=3 donc d=18 , et 185-65 = 1881792.
Le snapshot Geogebra montre "produit=" en bas du tableau de valeurs.
