D142 : À la recherche de trois droites concourantes
Dans un triangle scalène ABC, on trace les droites qui joignent les sommets aux points qui partagent le côté opposé en n segments de même longueur. Quelle est la plus petite valeur impaire de n telle qu’il existe au moins trois droites concourantes issues respectivement des sommets A, B et C.
Pour cette valeur de n = 2k + 1, le polygone délimité par les six droites issues des trois sommets et passant par les extrémités du (k+1)ième segment du côté opposé a une aire égale à 1. Quelle est la dimension de la hauteur issue du sommet A sachant que BC = 23?
D’après le théorème de Ceva, si les droites découpent les cotés dans les
rapports a/(n-a), b/(n-b), c/(n-c), nous avons (n-a)(n-b)(n-c)=abc ou encore (n2-(a+b+c)n+bc+ca+ab)n=2abc : n divise 2abc, et donc abc puisque impair; n ne peut être premier puisque a, b, et c sont strictement inférieurs à n.
Si n=9, abc doit être divisible par 9, donc deux au moins des nombres a, b et c sont égaux à 3 ou 6, donc deux des rapports a/n-a,... sont égaux à 3 ou 1/3 : le troisième devrait donc être égal à 9, 1, ou 1/9 ce qui impossible.
Si n=15, l’un des nombres a, b, c vaut 3, 6, 9, ou 12, soit un rapport égal à 1/4, 2/3, 3/2 ou 4; un autre vaut 5 ou 10, soit un rapport égal à 1/2 ou 2. Les autres valeurs possibles sont 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 ou 14, pour des valeurs du rapport égales à 1/14, 2/13, 4/11, 7/8, 8/7, 11/4, 13/2, 14 , chacune comportant un facteur premier n’existant pas dans les valeurs précédentes; elles ne peuvent donc
intervenir.
Si a=3, a/(n-a)=1/4 et si a=5, a/(n-a)=1/2 : une solution est donc a=3, b=10, c=10 puisque (3/12)*(10/5)*(10/5)=1 .
Soient A1, A2 les points qui divisent BC dans les rapports 7/15 et 8/15
respectivement, et de même B1, B2 et C1 C2 . BB2 et CC1 se coupent en D, et BB1
et CC2 en H, sur la médiane issue de A. On définit de même E et I, F et J.
L’hexagone DEFHIJ a une aire unité. Soit S l’aire du triangle ABC, et X la somme des aires des quadrilatères AJDE, BEFH et CHIJ. L’aire du triangle HBC vaut 7/8 de celle de HAB (ou HAC), donc 7S/23; même chose pour JCA et EAB, et
comme l’aire de ABC est la somme de X, de l’hexagone unité et de ces trois triangles, S=X+1+21S/23, d’où 2S=23(X+1). Par ailleurs, l’aire de ADE vaut 7/8 de celle de CDE, c’est à dire la somme de CIJ et de DEIJ : en additionnant les six égalités similaires, on obtient X=7(X+3)/8, donc X=21. Donc in fine 2S=23*22 : si la longueur de BC est égale à 23, la hauteur issue de A vaut 22.
La figure , pour être lisible, ne respecte pas les proportions de l’énoncé...
