A la recherche de droites concourantes

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A la recherche de droites concourantes

Problème D142 de Diophante

Dans un triangle scalène ABC, on trace les droites qui joignent les sommets aux points qui partagent le côté opposé en n segments de même longueur. Quelle est la plus petite valeur impaire de n telle qu'il existe au moins trois droites concourantes issues respectivement des sommets A, B et C.

Pour cette valeur de n = 2k + 1, le polygone délimité par les six droites issues des trois sommets et passant par les extrémités du (k+1)ième segment du côté opposé a une aire égale à 1.

Quelle est la dimension de la hauteur issue du sommet A sachant que BC = 23

?

Source : d'après Leslie Reid (université du Missouri) et la Jaune et la Rouge (juin-juillet 2009)

Solution

Choisissons le repère A(0,0), B(n,0), C(0,n) et les deux points P^(p,0) et Q^(0,q), où p et q sont entiers.

Il s’agit de trouver n, p et q pour que a et b soient entiers.

Le point I satisfait les équations : nx + py = np et qx + ny = nq

D’où x = np(n-q) / (n²-pq) et y = nq(n-p) / (n²- pq)

A(0,0)

I

R(a,b)

Q(0,q)

P(p,0)

C(0,n)

B(n,0)

Ainsi a / b = p(n-q) / q(n-p) et a + b = n

Enfin a = np(n-q) / (np + nq – 2pq) et b = nq(n-p) / (np + nq – 2pq)

Avec un tableur, on calcule a, avec en marge p et q, en faisant varier n impair en croissant. Pour n = 15, on trouve les six solutions représentées ci-après.

La valeur 15 est la plus petite. Cependant, un tracé manuel pour 7 semble donner une solution, mais c’est raté ! Il en va de même pour 13.

Au-delà, le phénomène semble se reproduire pour 31 et 63 …

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Les six triplets (p, q, a) sont : (3, 5, 5) ; (5, 3, 10) ; (5, 10, 3) ; (10, 5, 12) ; (10, 12, 5) ; (12, 10, 10) ;

3 5 10 12

3

5

10 12

3

5

10 12

Représentons les trois triangles mentionnés et regardons de plus près :

Notons G le barycentre du triangle ABC. Alors x_G = y_G = 5. Les droites AP (AG), AQ et PQ ont pour équations : y = x ; 8 y = 7 x et 15 x + 8 y = 120. Ainsi x_P = y_P = 120 / 23 = 5,2174 et x_Q = 120 / 22 = 5,4545 ; y_Q = 105 / 22 = 4,7727

D’où l’aire du triangle GPQ : S = [(x_Q – x_G).(y_P – y_G) - (x_P – x_G).(y_Q – y_G)] / 2 soit S = (10/22 * 5/23 + 5/23 * 5/22) / 2 = 75 / 44 / 23

Pour un triangle équilatéral, l’aire du polygone vaut six fois celle du triangle ; par déformation affine ce résultat persiste.

Avec les unités choisies, où BC = 15 et l’aire du triangle ABC = 225 / 2, l’aire du polygone vaut 225 / 506.

Donc, avec BC = 23, pour que cette aire vaille 1 il faut une hauteur de 22.