A332. Six font trois ***
A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Raymond BlochTrouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs.
PROPOSITION
Th EveilleauSix entiers : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Et 8, 9, 10
1*2*3*4*5*6 = 8*9*10 = 720 PROGRAMME de recherche rapide
function A332() {
for (var n=3; n<=100000; n++) {
for (var m=n+1; m<=maxi; m++) {
var p1=(n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)*(n+3);
var p2=(m-1)*m*(m+1);
if (p1==p2) {
trace('trouvé avec ',n,' et ',m);
} }
}trace('terminé');
}A332() ;
Avec Diophante :
Soit f(n) =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3) le premier produit ; Soit g(m)=(m-1)m(m+1) = (m²-1)*m le deuxième produit ; L’entier m a une valeur moyenne de n(n+1).
Posons cette valeur moyenne m
a= n² +n - a avec a entier naturel et
g(m
a) = ((n²+n+a)² -1)* (n²+n-a)
g(m
a) = n
6+ 3n
5- 3(a-1) *n
4- (6a+1)an
3+ (3a² -3a -1) n² + (3a²-1) n +a – a
3Nous avons :
f(n) = n⁶ + 3n⁵ − 5n⁴ −15n³ + 4n² + 12n
L’égalité f(n) = g(m0 ) avec n>2 mène à n=3 ; a=3 donc m = 9.
1*2*3*4*5*6 = 8*9*10
Résultat obtenu avec un petit programme : function casm_a() {
var res1,res2;
for (var n=1; n<=1000; n++) { for (var a=2; a<12; a++) {
res1=Math.pow(n,6) + 3*Math.pow(n,5)-3*(a-1)*Math.pow(n,4) +(1-6*a)*Math.pow(n,3) + (3*a*a-3*a-1)*n*n +(3*a*a-1)*n+a-a*a*a;
res2=Math.pow(n,6)+3*Math.pow(n,5)-5*Math.pow(n,3)-15*Math.pow(n,3)+4*n*n+12*n;
if((res1==res2)&&(res1>0)){
trace('gagné avec n=',n,' et a=',a);
} }
} }casm_a();
