A332. Six font trois A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Raymond Bloch
Trouver un ensemble de six nombres entiers consécutifs tels que leur produit est aussi le produit de trois nombres entiers consécutifs.
Pour les plus courageux: démontrer que cet ensemble est unique.
Solution de Paul Voyer Une solution est :
1*2*3*4*5*6 = 8*9*10 = 720
P = abcdef = xyz doit être multiple de 6! = 720.
On remarque que cd doit être voisin de y.
P = (c-2)(d+2)*cd*(c-1)(d+1) = cd(cd-2(d-c)-4)(cd-d+c-1)
= (cd-6)(cd-2)(cd) = (y-1)(y)(y+1).
Il est clair que cd-6 ≤ y-1 et cd ≥ y+1.
Soit cd-5 ≤ y ≤ cd-1
Il suffit d'essayer les 5 valeurs 1, 2, 3, 4 et 5 pour constater que seul 3 donne une solution.
Par exemple, en substituant y+3 à cd, il vient : (y-3)(y+1)(y+3) = (y-1)y(y+1)
y²-9 =y²-y
y = 9, c = 3, d = c-1 = 4 Si cd = y+2
(y-4)y(y+2) = (y-1)y(y+1) y = -7/2 non entier naturel.