A728- La pesée miraculeuse
Problème proposé par Raymond Bloch
On vous présente 2017 pièces de monnaie d'apparence identique mais 36 d'entre elles sont fausses : certaines ont un gramme en plus et d'autres un gramme en moins.
Vous disposez d'une balance à deux plateaux équipée d'une aiguille permettant de lire immédiatement la différence de poids exprimée en grammes entre les deux plateaux.
Seriez-vous capable, grâce à une seule pesée, de dire si une pièce prise au hasard est bonne ou fausse?
Solution par Patrick Gordon
On garde la pièce à examiner et l'on répartit les 2016 restantes en deux lots de 1008 sur les deux plateaux de la balance.
Si l'écart de poids indiqué par l'aiguille est un nombre pair de grammes, la pièce est bonne; s'il est impair, elle est fausse.
Voici pourquoi.
Notons P (P comme "plus") le nombre total de fausses pièces par excès sur la balance, M (M comme "moins") le nombre de fausses pièces par défaut et affectons de l'indice 1 ou 2 ces valeurs dans les deux plateaux respectifs
Si la pièce est bonne, il y a 36 fausses pièces sur la balance donc P + M = 36 et P et M sont de même parité.
Si P et M sont pairs, P1 et P2 d'une part, M1 et M2 d'autre part sont de même parité.
Donc (P1 – M1) et (P2 – M2)sont de même parité et l'aiguille indiquera la différence entre ces deux différences, qui sera un nombre pair.
Mutatis mutandis, si P et M sont impairs.
Si la pièce est fausse, il y a 35 fausses pièces sur la balance donc P + M = 35 et P et M sont de parités opposées.
Si P est pair et M impair, P1 et P2 sont de même parité et M1 et M2 sont de parités opposées.
Donc (P1 – M1) et (P2 – M2)sont de parités opposées et l'aiguille indiquera la différence entre ces deux différences, qui sera un nombre impair.
Mutatis mutandis, si P est impair et M pair.
