A 728. La pesée miraculeuse. **
Problème proposé par Raymond Bloch
On vous présente 2017 pièces de monnaie d’apparence identique mais 36 d’entre elles sont fausses : certaines ont un gramme en plus et d’autres un gramme en moins.
Vous disposez d’une balance à deux plateaux équipée d’une aiguille permettant de lire immédiatement la différence de poids exprimée en grammes entre les deux plateaux.
Seriez-vous capable, grâce à une seule pesée, de dire si une pièce prise au hasard est bonne ou fausse ?
Solution proposée par Michel Lafond.
Pourquoi 2017 pièces alors qu’on est en 2018 ? Probablement une question de parité…
Soit p le poids d’une bonne pièce.
Laissons de côté la pièce à tester, et répartissons les 2016 pièces restantes à égalité entre les deux plateaux.
Le poids de chacune de ces 2016 pièces est .
La différence D des poids lue est la somme des écarts correspondants aux pièces fausses présentes sur les plateaux.
D est donc congru au nombre total de pièces fausses présentes sur les plateaux.
Par conséquent :
Si D est pair, c’est que les 36 pièces fausses sont présentes sur les plateaux et la pièce à tester est BONNE Si D est impair, la pièce à tester est FAUSSE
