D207 - Le bosquet de séquoias [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch Dans ce grand parc poussent depuis des siècles:
1) des séquoias géants (Sequoiadendron giganteum) plantés aux sommets A,B,C,D,.... d'un polygone (P) régulier de n côtés. Les sommets A,C et D sont tels que la plus grande hauteur du triangle ACD est égale à la somme des deux autres hauteurs.
2) des séquoias à feuille d'if (Sequoia sempervirens) qui occupent des sommets de polygones PA,PB,PC
....homothétiques au polygone P. Sur chacun de ces polygones on trouve deux séquîoas géants et n ‒ 2 séquoias à feuille d'if.
La figure ci-dessus fait apparaître pour chacun des polygones PA,PB,PC ....quatre sommets sur les n sommets, à savoir les sommets A,a₁,a₂,B du polygone PA, puis les sommets B, b₁,b₂,C du polygone PB enfin les sommets C,c₁,c₂,D, du polygone PC .Le même motif alterné se répète jusqu'au polygone passant par le n- ième séquoia géant et par le sommet A.
Q₁ Déterminer le nombre n de séquoias géants et le nombre de séquoias à feuille d'if.
Q₂ Démontrer les trois relations 1/AB = 1/AC + 1/AD , Aa₂ + AB = AC et Aa₁ + Aa₂ + AB = AD.
Nota: la figure n'est pas exacte car elle ne respecte pas les proportions.
Solution
Ce problème permet d'illustrer quelques propriétés remarquables du triangle heptagonal dont les trois sommets A,B,D sont trois des sommets consécutifs A,B,C,D,E,F,G d'un heptagone régulier, les angles aux sommets correspondants valant respectivement 2π/7, 4π/7 et π/7
Ces propriétés sont analysées de façon très complète dans deux articles de Paul Yiu Heptagonal triangles and their companions et de Leon Bankoff et Jack Garfunkel The heptagonal triangle
Notons enfin que certaines de ces propriétés sont analysées dans les rubriques D143 et D238 de diophante.fr
Les deux relations " la longueur de la plus grande hauteur d'un triangle heptagonal ABD = la somme des longueurs des deux autres hauteurs" et "1/AB = 1/AC + 1/AD" sont liées entre elles.Elles s'obtiennent à l'aide de formules trigonométriques classiques ou de calculs d'aires de triangles.
Voir :
- les propriétés n°2 et n°3 du paragraphe "Additional properties of the heptagonal triangle" de l' article de L.
Bankoff et J. Garfunkel - rubrique D238.
Par ailleurs en juxtaposant trois heptagones identiques ABCDEFG, DEIJKLM et JKNOPQR comme dans la figure ci-dessus et en repérant par des couleurs identiques les diagonales de même longueur, on vérifie aisément que :
AE + AF = AE + EJ = AJ et
AG + AF + AE = GF + EJ + JP = GF + FS + SQ = GQ ce qui démontre les deux dernières relations de la question Q₂.
La question Q₁ a pour réponse n = 7 séquoias géants et 29 séquoias à feuille d'if dont la représantation graphique est la suivante:
