A 340 : Les familles "kappa".
Dans le système décimal, un entier positif κ est appelé "kappa" si on sait trouver un entier naturel n tel que κ = où P (n) désigne le produit des chiffres de n. Exemple : 17 est un nombre "kappa" car 17 = avec P (816) = 48.
Q1 Je suis un entier naturel n dont le produit de mes 7 chiffres est égal à 27648 et auquel on peut associer un "kappa"
κ = n / 27648. Je suis à la tête d'une belle famille d’entiers qui me divisent tous et ont tous le même
"kappa" que moi. L’un d’entre eux est 96 fois plus petit que moi.
Trouver tous les membres de la famille ainsi que le "kappa" qui leur est commun.
Pour un entier positif κ donné, on définit sa famille F (κ) comme l’ensemble des entiers positifs n auxquels on peut associer le même "kappa" κ . Ainsi, la famille de 9 est F (9) = {135 ; 144 ; 1575} car = 9
et il n’y a pas d’autres nombres n qui vérifient 9 = avec κ = 9.
Q2 Donner les familles F(κ) pour κ variant de 1 à 30.
Q3 Démontrer que F (κ) est nécessairement un ensemble fini.
Solution proposée par Michel Lafond:
Q1 : n = 2239488 a 4 fils : {n/192 = 11664, n/96 = 23328, n/12 = 186624, n/9 = 248832} et kappa = 81.
En effet :
P (x) est le produit des chiffres de l’entier x et k est le kappa de n si .
On a par hypothèse : n a 7 chiffres donc n < 107.
n = 27648 k et par conséquent Comme n a 7 chiffres, on a aussi
De plus k n’est pas multiple de 5 sans quoi n serait multiple de 10 et on aurait P (n) = 0.
Examinons toutes les valeurs possibles de k entre 37 et 361 exceptions faites des 65 multiples de 5.
Il y a 260 valeurs possibles. Pour chacune d’elles, on regarde si P (27648 k) = 27648.
On ne trouve que deux possibilités : k = 81 ou k = 233.
Premier cas k = 81.
n = 81 × 27648 = 2239488 = 210 37.
La famille de n est composée des entiers m qui divisent n et qui vérifient m = 81 × P (m) = 34 × P (m).
Puisque les chiffres de m ne peuvent être que 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 c’est que m = 2α × 3β + 4 × 7ϒ. n = 210 37 et m = 2α × 3β + 4 × 7ϒ divise n. Donc α ≤ 10 β + 4 ≤ 7 et ϒ = 0.
La recherche est rapide et donne les 5 membres de la famille :
m Produit des chiffres de n kappa
24 36 = 11664 144 81
25 36 = 23328 288 81
28 36 = 186624 2304 81
210 35 = 248832 3072 81
210 37 = 2239488 27648 81
On vérifie que 2239488 / 96 = 23328 est bien membre de la famille.
Second cas k = 233.
n = 233 × 27648 = 6441984 = 233 × 210 33.
La famille de n est composée des entiers m qui divisent n et qui vérifient m = 233 × P (m) = 233 × P (m).
D’après l’énoncé, n / 96 devrait être membre de la famille, mais m = n / 96 = 67104 contient un 0 donc P (m) = 0 et m n’aurait pas de kappa. Ce second cas est à éliminer.
Q2 : Pour un entier positif k donné, on définit sa famille F (k) comme l’ensemble des entiers positifs n tels que :
Voici les familles des premiers entiers [les multiples de 10 ont toujours une famille vide] :
Q3 : Démontrons que pour tout entier positif k sa famille F (k) est un ensemble fini.
F (k) = {n ; n = k P (n)}. Si n a p chiffres (en base 10) alors . Donc
d’où
. p est borné et par conséquent n aussi, ce qui revient à dire que F (k) est fini.
k Famille de k
1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2 36
3 15, 24
4 384
5 175
6 12
7 735
8 128, 672
9 135, 144, 1575
10 Ø
11 11
12 1296, 139968 13 624, 3276, 1886976
14 224
15 Ø
16 Ø
17 816
18 216, 432, 34992 19 1197, 12768
20 Ø
21 315
22 132, 3168 23 115, 6624, 8832
24 Ø
25 Ø
26 Ø
27 2916
28 1176, 1344 29 3915, 739935
30 Ø
31 93744
32 Ø
33 51975
34 78962688
35 Ø
36 82944
