L1-M2 2011/2012 22 mai 2012 - Session 1
Examen de Mathématiques (M2) Duré: 3 heures
Les documents, les calculatrices et les téléphones portables ne sont pas autorisés Des questions ayant un degré de diculté plus élevé sont signalés par un astérisque∗
Exercice 1 : Soit i∈Ctel que i2 =−1. On considère le sous-ensemble deCsuivant : E={(a−b) + i(a+b)∈C|a, b∈Z}.
1. On se propose de montrer que(E,+)est un groupe (par "+" on entend l'addition usuelle des nombres complexes).
(a) Montrer que la loi "+" est une loi interne surE.
(b) Montrer que0∈E. Justier qu'il s'agit de l'élément neutre par rapport à la loi "+".
(c) Montrer que siz∈Ealors−z∈E. Justier qu'il s'agit de l'élément opposé (élément symmétrique par rapport à la loi "+") àz∈E.
(d) En déduire que(E,+) est un sous-groupe de(C,+).
2. SoitA={u+ iv|u, v∈Z, u−v ∈2Z} où2Z est l'ensemble des entiers pairs.
(a) Montrer queE ⊂A.
(b)∗ Montrer que A⊂E et en déduire E=A.
3. SoitF ={u+iv|u, v∈2Z}. Montrer queF ⊂E mais queF 6=E. (Indication : utiliser la question 2) 4. On munit à présentE de la multiplication "·" usuelle des nombres complexes.
(a) Montrer que siα, β∈E alorsα·β ∈E (i.e.E est stable par multiplication) et de même pour F. (b)∗ Montrer qu'on ne peut trouver d'element neutre ε∈E par rapport à la multiplication dansE. Exercice 2 : SoitR[X]l'ensemble des polynômes à coecients réels.
1. Soit le polynômeD(X) =X2−X−2. Trouver ses racines et en déduire sa factorisation surR.
2. SoitP(X)∈R[X]de degré au moins 2. Notons parQ(X)etR(X) le quotient, respectivement le reste de la division deP(X) parD(X).
(a) Énoncer le théoreme de division euclidienne pour ces polynomes. Quel est le degré maximal de R(X)?
(b) Supposons queP(X)est choisi tel que : (i)P(−1) = 2et (ii) (X+ 1)·P(X) +X·P(X+ 3) = 1. En déduire explicitement le reste R(X).
(Indication : on fera la liaison entre les racines de D(X) et les hypothèses (i) & (ii))
Exercice 3 : Soit P(X) ∈ R[X] donné par P(X) = X4 +X3+aX2 +bX +c, où a, b, c ∈ R sont des paramètres.
1. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i)P(1) = 2,P(−2) = 8etP(−1) = 1.
(ii) Les constantesa, b, c∈R(de la dénition deP(X)) sont solutions de l'équation matricielle :
(E) A·
a b c
=
0 0 1
où A=
1 1 1 4 −2 1 1 −1 1
2. Calculer le rang de la matrice A par la méthode du pivot. En déduire qu'il existe un unique triplet (a, b, c)∈R3 vériant (E).
3. Calculer ces uniques valeurs dea, b, c comme ceci :
(a) Calculer le déterminant deA(notédetA) et en déduire que (E) équivaut à un système de Cramer.
(b) Calculer la solution de ce système. (Indication : par exemple, en utilisant les formules de Cramer) Tourner la page s.v.p. −→
Exercice 4 : SoitR3 muni de sa base canoniqueB={e1,e2,e3}et soitΦl'application linéaire deR3 dans lui-même (endomorphisme) dont la matriceMBΦdans la base B est
A=
1 2 1
−3 −4 −2
2 2 1
.
1. Donner les vecteursΦ(e1),Φ(e2),Φ(e3) en tant que vecteurs-colonne (dans la base B).
2. Montrer que le rang deΦvaut 2. (Indication : on pensera à calculer celui deA).
3. Pourquoi peut-on en déduire que la dimension du noyauker Φ de Φest 1 ? 4. Donner une baseK ={k} deker Φ.
5. Trouver une baseJ ={i,j}du sous-espace image ImΦ. (Indication : ImΦ =Vect{Φ(e1),Φ(e2),Φ(e3)}) 6. SoitB0 =J ∪ K={i,j,k}. Montrer qu'il s'agit d'une base de R3.
7. JustierR3 = ker Φ⊕ImΦ.
8. Écrire la matrice de passagePBB0, depuis la base canoniqueB vers la base B0. On la notera P. 9. Calculer son inverseP−1 (qui est la matrice de passage PB0B, depuis la baseB0 vers la base B).
10. SiA0 est la matriceMB0ΦdeΦdans la baseB0, quelle est la relation entreA,P,P−1 etA0? (justier brièvement)
11. CalculerA0.
