A554 – Tracé par sa racine septième
Déterminez le plus grand entier N divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième. Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Patrick Gordon
Si "tous les entiers…" sont 1 et 2, N est la plus grande puissance de 2 telle que (2n)1/7 ne dépasse pas 2, c’est-à-dire 211 = 2048.
Si "tous les entiers…" sont 1, 2… k, en notant M le PPCM de 1, 2… k, N est la plus grande puissance de M telle que (Mn)1/7 ne dépasse pas k.
La première puissance de M à exclure est Mn tel que : (Mn)1/7 ≥ k+1
soit :
n > 7ln(k+1) / lnM
Un tableur nous enseigne que ce ratio semble prendre une valeur > 1 pour la dernière fois pour :
k = 24
M= 5 354 228 880
Reste à montrer que, au-delà de k = 24, le ratio 7ln(k+1) / lnM est < 1.
Or M "fait un bond" à chaque fois que k atteint un nombre premier (comme 23) ou une nouvelle puissance d'un nombre déjà pris en compte (comme 25, 27, etc.) tandis que (k+2)7/(k+1)7 tend lentement vers 1 et ne "rattrapera donc pas" M.
Ainsi, 5 354 228 880, dont la racine septième est 24,53657… est divisible par construction par tous les entiers de 1 à 24.
Le plus petit nombre qui serait divisible par tous les entiers de 1 à 25 est 5 354 228 880 × 5, soit : 26 771 144 400. Mais sa racine septième est 30,879247… et, s'il divise bien 26 et 28 il ne divise ni 27 ni 29.
Le plus grand entier N divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième est donc 5 354 228 880.
