Enoncé A554 (Diophante) Tracé par sa racine septième
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième. Justifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit N l’entier cherché, et n+ 1 le plus petit entier qui ne divise pas N. N est un multiple du PPCM des entiers de 1 à n, noté M(n).
AlorsM(n)≤N <(n+ 1)7 (∗).
M(n) = M(n−1) sauf quand n est un nombre premier ou une puissance de nombre premier.
Les valeurs dentelles que M(n)> M(n−1) sont :
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 31, 32, 37, . . . et les valeurs correspondantes du rapportM(n)/M(n−1) sont : 2, 3, 2, 5, 7, 2, 3, 11, 13, 2, 17, 19, 23, 5, 3, 31, 2, 37, . . .
Le produit de ces nombres jusqu’à 23 inclus est
M(24) =M(23) = 24·32·5·7·11·13·17·19·23 = 535422880, compris entre 247 et 257.
Le terme suivant, 5 fois plus grand, est
M(25) =M(26) = 5·M(24) = 26771144400, compris entre 307 et 317.
M(25), non divisible par 27 et 29 pourtant inférieurs à sa racine septième, ne répond pas à la question, non plus que ses multiples, à la différence de M(24), dont la racine septième est inférieure à 25.
Les choses ne s’arrangent pas pour les valeurs plus grandes de n; en effet, un résultat classique de théorie des nombres énonce que n
q
M(n) → e. Ainsi M(n) augmente comme en, et sa racine septième comme en/7, à la croissance bien plus rapide que n, ce qui laisse place à des facteurs ne divisant pas M(n).
2M(24) n’est pas multiple de 25, alors que 2M(24) > 257 = 6103515625. Ainsi les multiples de M(24) ne conviennent pas, et la solution du problème estN =M(24) = 535422880.
