A554 – Tracé par sa racine septième [ *** à la main]
Déterminer le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soit E le plus grand entier recherché et R la partie entière de sa racine septième.
On aura alors E devra être divisible par tous les nombres inférieurs ou égaux à R.
Calculons donc le plus petit nombre divisible par tous les chiffres inférieurs ou égaux à R. Ce nombre N(R) est égal au produit Π de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à R et élevés à une puissance α tellle que p^α <=R et p^(α+1) > R. Ce produit doit nécessairement être inférieur au E recherché.
On recherche donc le R maximum tel que N(R) soit inférieur à (R+1)^7.
N( R ) se calcule très facilement pour de petites valeurs et on trouve que la valeur de R maximale qui remplit cette condition est 24.
On constate que les courbes log(N(R )) et 7*log (R+1) divergent très rapidement. On peut prouver que cet écart ne peut s’inverser puisque d’après le postulat de Bertrand entre n et 2n il y a toujours un nombre premier, et donc qu’entre R et 2R la courbe log(N(R )) augmentera au moins de log(R) + log(2) soit log(2R) tandis que 7*log(R+1) augmentera de 7*log(2) soit log (128). Il suffit donc de montrer que c’est vrai pour 64 pour que cela le soit toujours. Ce qui est le cas puisque N(37) est déjà plus grand que 128^7.
La valeur de N(R) associée est égale à 5 354 228 880.
Le nombre E recherché est donc le plus grand nombre divisible par N(R) et inférieur à 25^7.
On constate immédiatement que ce nombre ne peut être que 5 354 228 880 puisque la racine septième du double est supérieure à 27.
Voir la feuille de calcul ci-après
