Tracé par sa racine septième
Problème A554 de Diophante
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième. Justifiez votre réponse.
Solution
Pour un entier n, notons J(n) le plus petit nombre divisible par tous les entiers inférieurs ou égaux à n. Avec un tableur, on passe de J(n-1) à J(n) en le multipliant par un coefficient convenable : n pour n premier ; p pour n puissance de p premier et 1 dans tous les autres cas.
En comparant n et la racine septième de J(n) on trouve que le nombre cherché est J(24), soit 5354228880.
n Coeff J(n) J(n) ^1/7
1 1 1 1,00
2 2 2 1,10
3 3 6 1,29
4 2 12 1,42
5 5 60 1,79
6 1 60 1,79
7 7 420 2,37
8 2 840 2,62
9 3 2520 3,06
10 1 2520 3,06
11 11 27720 4,31
12 1 27720 4,31
13 13 360360 6,22
14 1 360360 6,22
15 1 360360 6,22
16 2 720720 6,87
17 17 12252240 10,29
18 1 12252240 10,29
19 19 232792560 15,67
20 1 232792560 15,67
21 1 232792560 15,67
22 1 232792560 15,67
23 23 5354228880 24,53
24 1 5354228880 24,53
25 5 26771144400 30,88
26 1 26771144400 30,88
27 3 80313433200 36,13
Remarque : La suite J(n) est la suite A003418 de OEIS.
