A377 – Les nombres italiens.
Problème proposé par Michel Lafond
Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci : Q1. Trouver tous les nombres entiers italiens inférieurs à 200.
Q2. Quel est le
Q3. Montrer qu’il y a une infinité de paires d’entiers italiens consécutifs.
Solution proposée par l’auteur.
Rappelons quelques résultats connus sur la plus célèbre des suites.
Si on pose alors
La limite de lorsque n tend vers + ∞ est égale à x.
Si on note alors
On notera la relation m divise n.
Tous les termes de la suite de Fibonacci sont italiens puisque Un entier italien, s’il existe, est de la forme
D’après (1), et du fait que 1 est italien on peut supposer dans la suite Soit un entier italien. On a
Or le seul cas où deux termes de la suite de Fibonacci sont égaux est le cas
Mais . Donc
Or ce qui implique
On supposera donc dans la suite
D’après (2), or
Ainsi n est nécessairement de la forme (4) Examinons les valeurs successives de k en tenant compte de (3) et (4).
Si k = 1 (3) implique Si k = 2 (3) implique
Si k = 3 (3) implique Seul n = 6 convient et donne Si k = 4 (3) implique
Seul n = 8 convient et donne
Remarquons que le cas donne automatiquement une solution.
D’ailleurs, on démontre facilement (Voir la question Q3) que Si k = 5 (3) implique
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584
Seul n = 10 convient et donne Si k = 6 (3) implique
Seuls n = 9 et n = 12 conviennent et donnent Si k = 7 (3) implique
Seul n = 14 convient et donne Si k = 8 (3) implique
Seuls n = 12 et n = 16 conviennent et donnent Si k = 9 (3) implique
Seuls n = 12 et n = 18 conviennent et donnent Si k = 10 (3) implique
Seuls n = 15 et n = 20 conviennent et donnent Si k = 11 (3) implique
Seul n = 22 convient et donne
Les 24 entiers italiens inférieurs à 200 obtenus jusqu’ici sont
Il n’y en a pas d’autres.
En effet, à partir de k = 12 on a et on peut poser
implique
Or et est fonction décroissante de donc Par conséquent
Ici,
Q2. Quel est le plus proche rationnel italien de 2019 ?
Si on poursuit l’exploration des valeurs successives de k, on trouve : Si k = 12 (3) implique
Seuls n = 15, 16, 18, 24 conviennent et donnent
Si k = 13 (3) implique
Seul n = 26 convient et donne Si k = 14 (3) implique
Seuls n = 21 et n = 28 conviennent et donnent Si k = 15 (3) implique
Seuls n = 18, 20, 30 conviennent et donnent
Si k = 16 (3) implique
Seuls n = 20, 24, 32 conviennent et donnent
À partir de k = 17 on a et on peut poser D’après (5),
Ceci prouve que 2019 (qui ne fait pas partie de la suite de Fibonacci) n’est pas un nombre italien et que les nombres italiens voisins de 2019 sont à rechercher parmi les .
On a :
n 19 20 21 22 23 24 25 26 27
2255 2189,2 2213,875 2204,38… 2208 2206,61… 2207,14… 2206,94…
donc la suite converge (de manière alternée) vers sa limite lorsque n tend vers + ∞.
Il est donc inutile de calculer les colonnes suivantes du tableau ci-dessus.
Le rationnel italien le plus proche de 2019 est
Remarque : Ce qui précède permet de poursuivre la liste des entiers italiens débutée à la question Q1 :
Cette suite est référencée A031121 dans l’encyclopédie des suites de SLOANE.
Q3. Il y a une infinité de paires de nombres entiers italiens consécutifs.
D’abord, on a pour tout k
En effet implique
Ensuite, on a pour tout k
En effet et impliquent
Or (6) implique ce qui avec (7) montre que
sont deux entiers italiens consécutifs, pour tout k.
