Problème proposé par Michel Lafond
Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci : Q₁. Trouver tous les nombres entiers italiens inférieurs à 200.
Q₂. Quel est le plus proche rationnel italien de 2019
Q₃. Montrer que dans la suite des entiers naturels, il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs qui sont tous deux des nombres italiens.
Fm =Fm-1+Fm-2=2Fm-2+Fm-3=...=FiFm-i+1+Fi-1Fm-i. En particulier,
Fkn=FnF(k-1)n+1+Fn-1F(k-1)n : donc, par récurrence, Fkn est divisible par Fn.
Réciproquement, pour n<m, si Fm est divisible par Fn, il en est de même pour Fm-n, etc... jusqu’à un indice inférieur à n, qui ne peut être que nul. Fm est divisible par Fn si et seulement si n divise m.
Q1 : Les nombres italiens entiers inférieurs à 200 sont donc : - Les termes Fn : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
- Les termes F2n/Fn pour n≥3 : 4, 7, 11, 18, 47, 76, 123, 199 - Les termes F3n/Fn : 17, 48, 122
- Le terme F4n/Fn : 72 Pour k>4, Fkn/Fn>200.
Q2 : Pour tous entiers n et p, Fn+pFn-1- Fn+p-1Fn=(-1)nFp, donc
Fn+p/Fn-Fn+p-1/Fn-1=(-1)nFp/(FnFn-1) : la suite Fn+p/Fn reste comprise entre Fp+3/2 et Fp+2 : pour p=15 entre 2584/2=1292 et 1597, pour p=16 entre 4181/2=2090,5 et 2584, pour p=17 entre 6765/2=3382,5 et 4181.
La valeur la plus proche de 2019 est donc F18/F3=2090,5.
Q3 : F3n=FnF2n+1+Fn-1F2n, F4n=F2n(F2n-1+F2n+1) donc F3n/Fn- F4n/F2n=(Fn-1F2n-FnF2n-1)/Fn=(-1)n
Les entiers F3n/Fn et F4n/F2n sont toujours consécutifs.
