A377. Les nombres italiens

A377. Les nombres italiens

Un nombre rationnel est dit italien s’il est le quotient de deux termes de la suite de Fibonacci : F1 = F2 = 1 et si n ≥ 3 Fn = Fn-1 + Fn-2

Q1. Trouver tous les nombres entiers italiens inférieurs à 200.

Q2. Déterminer le plus proche rationnel italien de 2019.

Q3. Montrer que dans la suite des entiers naturels, il existe une infinité de paires d’entiers consécutifs qui sont tous deux des nombres italiens.

Solution Question 1 :

Le tableau ci-dessous donne un aperçu du tableau des quotients des termes de la suite de Fibonacci

Utilisons une propriété classique de la suite de Fibonacci :

∀ ( a,b ) ∈ Z × Z ∗ , F

_a

∧ F

_b

= F

a ∧ b

où

∧

désigne le PGCD de nombres entiers.

Pour que le numérateur

F

_a soit divisible par le dénominateur

F

_b il faut que

F

_bsoit PGCD du coule (

F

_a

, F

_b,), donc que b soit PGCD du couple (a,b). a est donc un multiple de b (a=kb avec k entier positif).

Donc tous les quotients de la forme

F

_kb

/ F

_b sont des entiers.

A l’inverse si

c=a ∧ b

est inférieur à b, alors le PGCD de

F

_a

∧ F

_best

F

_c plus petit que

F

_b. Ce dernier ne peut alors diviser

F

_a. C’est le cas de tous les quotients ou a n’est pas multiple de b

Il en résulte que les 13 nombres suivants inférieurs à 200 sont des entiers italiens « nobles » : 4, 7, 11, 17, 18, 29, 47, 48, 72, 76, 122, 123, 199

Auxquels on peut ajouter les 11 termes de la suite Fibonacci qui sont des entiers italiens « triviaux » : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Dénominateur

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

F1 1 1

F2 1 1 1

F3 2 2 2 1

F4 3 3 3 1,5 1

F5 5 5 5 2,5 1,66667 1

F6 8 8 8 4 2,66667 1,6 1

F7 13 13 13 6,5 4,33333 2,6 1,625 1

F8 21 21 21 10,5 7 4,2 2,625 1,61538 1

F9 34 34 34 17 11,3333 6,8 4,25 2,61538 1,61905 1

F10 55 55 55 27,5 18,3333 11 6,875 4,23077 2,61905 1,61765 1

F11 89 89 89 44,5 29,6667 17,8 11,125 6,84615 4,2381 2,61765 1,61818 1

F12 144 144 144 72 48 28,8 18 11,0769 6,85714 4,23529 2,61818 1,61798 1

F13 233 233 233 116,5 77,6667 46,6 29,125 17,9231 11,0952 6,85294 4,23636 2,61798 1,61806 F14 377 377 377 188,5 125,667 75,4 47,125 29 17,9524 11,0882 6,85455 4,23596 2,61806 F15 610 610 610 305 203,333 122 76,25 46,9231 29,0476 17,9412 11,0909 6,85393 4,23611 F16 987 987 987 493,5 329 197,4 123,375 75,9231 47 29,0294 17,9455 11,0899 6,85417 F17 1597 1597 1597 798,5 532,333 319,4 199,625 122,846 76,0476 46,9706 29,0364 17,9438 11,0903 F18 2584 2584 2584 1292 861,333 516,8 323 198,769 123,048 76 46,9818 29,0337 17,9444 F19 4181 4181 4181 2090,5 1393,67 836,2 522,625 321,615 199,095 122,971 76,0182 46,9775 29,0347 F20 6765 6765 6765 3382,5 2255 1353 845,625 520,385 322,143 198,971 123 76,0112 46,9792 F21 10946 10946 10946 5473 3648,67 2189,2 1368,25 842 521,238 321,941 199,018 122,989 76,0139 F22 17711 17711 17711 8855,5 5903,67 3542,2 2213,88 1362,38 843,381 520,912 322,018 199 122,993 F23 28657 28657 28657 14328,5 9552,33 5731,4 3582,13 2204,38 1364,62 842,853 521,036 321,989 199,007 F24 46368 46368 46368 23184 15456 9273,6 5796 3566,77 2208 1363,76 843,055 520,989 322 F25 75025 75025 75025 37512,5 25008,3 15005 9378,13 5771,15 3572,62 2206,62 1364,09 842,978 521,007

Numérateur

Question 2 :

Le schéma suivant laisse pressentir que F19 / F3 est le rationnel italien le plus proche de 2019.

Pour le démontrer prenons l’expression classique de tout terme Fn d’une suite de Fibonacci : Fn = ¹

2^𝑛√5(aⁿ-bⁿ) avec a=1+√5 et b=1-√5 et considérons le quotient

F

_p

/ F

_q

Propriété 1 : A dénominateur

F

q constant le ratio

F

p

/ F

q croît avec p croissant.

Ce qui signifie que tout nombre non italien peut être encadré par

F

_p

/ F

_q et

F

_p+1

/ F

_q

Propriété 2 : Quand on part d’un quotient

F

p

/ F

q en se déplaçant sur une diagonale descendante

F

p+k

/ F

q +k (k entier positif) on converge très vite avec k croissant vers une valeur fixe.

Examinons comment on s’approche de cette limite.

Soit p et q deux indices fixes avec p>q et k un indice variable quelconque positif ou nul, alors

F

p+k

/ F

q+k

=

^{𝑎𝑝−𝑞}

2^𝑝−𝑞

¹⁻⁽

𝑎 𝑏)^𝑝+𝑘 1−(^𝑎

𝑏)^𝑞+𝑘

Soit

L

p-q la limite de

F

p+k

/ F

q+k quand k tend vers Ꚙ,

L

p-q

=

^𝑎₂^𝑝−𝑞_𝑝−𝑞

car a/b et inférieur à 1.

Evaluons le rapport

R

_p-q,k de

[F

_p+k

/ F

_q+k

] / L

_p-q

R

p-q,k

=

¹⁻⁽

𝑎 𝑏)^𝑝+𝑘 1−(^𝑎

𝑏)^𝑞+𝑘

Dénominateur

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

F1 1 1

F2 1 1 1

F3 2 2 2 1

F4 3 3 3 1,5 1

F5 5 5 5 2,5 1,66667 1

F6 8 8 8 4 2,66667 1,6 1

F7 13 13 13 6,5 4,33333 2,6 1,625 1

F8 21 21 21 10,5 7 4,2 2,625 1,61538 1

F9 34 34 34 17 11,3333 6,8 4,25 2,61538 1,61905 1

F10 55 55 55 27,5 18,3333 11 6,875 4,23077 2,61905 1,61765 1

F11 89 89 89 44,5 29,6667 17,8 11,125 6,84615 4,2381 2,61765 1,61818

F12 144 144 144 72 48 28,8 18 11,0769 6,85714 4,23529 2,61818

F13 233 233 233 116,5 77,6667 46,6 29,125 17,9231 11,0952 6,85294 4,23636

F14 377 377 377 188,5 125,667 75,4 47,125 29 17,9524 11,0882 6,85455

F15 610 610 610 305 203,333 122 76,25 46,9231 29,0476 17,9412 11,0909

F16 987 987 987 493,5 329 197,4 123,375 75,9231 47 29,0294 17,9455

F17 1597 1597 1597 798,5 532,333 319,4 199,625 122,846 76,0476 46,9706 29,0364

F18 2584 2584 2584 1292 861,333 516,8 323 198,769 123,048 76 46,9818

F19 4181 4181 4181 2090,5 1393,67 836,2 522,625 321,615 199,095 122,971 76,0182 F20 6765 6765 6765 3382,5 2255 1353 845,625 520,385 322,143 198,971 123 F21 10946 10946 10946 5473 3648,67 2189,2 1368,25 842 521,238 321,941 199,018 F22 17711 17711 17711 8855,5 5903,67 3542,2 2213,88 1362,38 843,381 520,912 322,018 F23 28657 28657 28657 14328,5 9552,33 5731,4 3582,13 2204,38 1364,62 842,853 521,036 F24 46368 46368 46368 23184 15456 9273,6 5796 3566,77 2208 1363,76 843,055 F25 75025 75025 75025 37512,5 25008,3 15005 9378,13 5771,15 3572,62 2206,62 1364,09

N u m é ra te u r

Si p+k et q+k sont supérieurs ou égaux à 9, sachant que 0,381< ABS(a/b) <0,382, alors

∀

k

,

0,9996 <

R

_p-q,k < 1,0004, Soit : 0,9996

L

_p-q <

F

_p+k

/ F

_q+k < 1,0004

L

_p-q.

On choisit les cases encadrant 2019 à l’extrême droite du tableau (colonne

F

₉, lignes

F

₂₄ et

F

₂₅)

 La limite de la borne inférieure est définie par p=24 q=9 soit p-q = 15 Elle est égale à 1364,007

 La limite de la borne supérieure est définie par p=25 q=9 soit p-q = 16 Elle est égale à 2206,9996 Donc au-delà du tableau précédent, les valeurs suivantes seront :

 Pour la borne inférieure, comprises entre 1363 et 1365

 Pour la borne supérieure, comprises entre 2206 et 2208

Il n’y aura donc aucune valeur plus proche de 2019 que F

₁₉

/ F

₃

qui vaut 2090,5

Question 3 :

Les valeurs déjà trouvées dans le tableau

F

₁₂

/ F

₄

= 48

et

F

₁₆

/ F

₈

= 47

ou

F

₁₅

/ F

₅

= 122

et

F

₂₀

/ F

₁₀

= 123

suggèrent de comparer

F

_3n

/ F

_n et

F

_4n

/ F

_2n en reprenant las formules utilisées dans laquestion précédente

F

_3n

/ F

_n

= ¹

2

^2𝑛

(a

³ⁿ

– b

³ⁿ

) / (a

ⁿ

– b

ⁿ

) = ¹

2

^2𝑛

(a

²ⁿ

+ a

ⁿ

b

ⁿ

+ b

²ⁿ

) = ¹

2

^2𝑛

(a

²ⁿ

+ b

²ⁿ

) + ¹

2

^2𝑛

(-4)

ⁿ

= ¹

2

^2𝑛

(a

²ⁿ

+ b

²ⁿ

) + (-1)

ⁿ

F

_4n

/ F

_2n

= ¹

2

^2𝑛

(a

⁴ⁿ

– b

⁴ⁿ

) / (a

²ⁿ

– b

²ⁿ

) = ¹

2

^2𝑛

(a

²ⁿ

+ b

²ⁿ

)

Ainsi ∀ n entier positif on a F

_3n

/ F

_n

= F

_4n

/ F

_2n

+ (-1)

ⁿ

, donc il existe une infinité de paires

d’entiers consécutifs qui sont tous deux des nombres entiers italiens.