A331. Primo-accointances
Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.
P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.
Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.
• P1
Avec − 1 et + 1 premiers, la recherche de est liée à celle des nombres premiers jumeaux.
Clement a montré que − 1 et + 1 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si :
4 − 2 ! + 1 + − 1 ≡ 0 modulo − 1
À partir de là, la calculatrice trouve aisément : = 30, et en optimisant le programme (à cause de la factorielle) :
30 113 160 246 930 1 652 880 9 363 510 22 592 040 ...
• P2
À partir de 5, ne peut pas être impair, puisque 4 est premier avec et n'est pas premier.
J'ai le reste de la démonstration sur le bout de la langue, mais, bien que gourmet, les neurones n'ont point daigné y descendre (sur la langue). Par contre la calculatrice, dénuée de toute sensibilité, donne illico tous les nombres (pairs donc), dont les entiers qui leurs sont inférieurs et premiers avec eux, sont tous des nombres premiers.
nombres < et tous premiers avec 3 2
4 3 6 5
8 3 5 7
12 5 7 11
18 5 7 11 13 17
24 5 7 11 13 17 19 23 30 7 11 13 17 19 23 29
Le plus grand est donc 30, tous les autres comprenant dans la suite des nombres inférieurs et premiers avec eux, le carré du plus petit nombre premier n'appartenant pas à leur décomposition en facteurs premiers.
Par exemple :
nombres < et tous premiers avec
10 9 1 3 7 9
36 25 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35
60 49 1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
210 121 1 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209 ...
