Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré

A330. Questions d’équilibre

Un entier est dit « équilibré » si parmi deux chiffres consécutifs quelconques de sa représentation décimale l’un est pair et l’autre est impair. Par exemple 187830 est un entier équilibré. A contrario, un entier est dit « déséquilibré » s’il existe au moins deux chiffres consécutifs de sa représentation décimale qui ont la même parité, par exemple 887831.

1. Trouver le plus petit multiple de 2011 qui est équilibré.[*]

2. Trouver l’entier le plus proche de 2011 dont tous les multiples sont déséquilibrés. [**]

3. Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré. [****]

Solution de Claude Felloneau

1. L’entier 30165=15×11 est le plus petit multiple de 2011 qui est équilibré.

2. L’entier 2020 est l’entier le plus proche de 2011 dont tous les multiples sont déséquilibrés (d’après 3).

3. Les entiers dont au moins un multiple est équilibré sont les entiers non nuls non divisibles par 20.

Preuve de 3.: Il est clair que les multiples non nuls de 20 ne sont pas équilibrés car leur chiffre des dizaines et leur chiffre des unités sont pairs.

Réciproquement, il s’agit de démontrer que tout entier naturel qui n’est pas un multiple de 20 a un multiple qui est équilibré.

1. Tout entier de la forme 2^p5^q qui n’est pas divisible par 20 admet un multiple qui est un entier équilibré s’écrivant avec un nombre pair de chiffres.

• Cas oùq=0.

Soitnun entier supérieur ou égal à 1.

On suppose qu’il existe un entier équilibréa=an−1an−2...a1a0qui est un multiple de 2ⁿet s’écrit avecnchiffres dont le premier à gauche est 1 ou 2.

On poseb=a·2⁻ⁿ.

Soientuetvdeux entiers naturels quelconques etc=a+u·10ⁿ+2v·10ⁿ⁻¹. On ac=¡

b+u·5ⁿ+v·5ⁿ⁻¹¢

2ⁿ, donc c≡0£

2ⁿ⁺¹¤

⇔b+u·5ⁿ+v·5ⁿ⁻¹≡0 [2]⇔b+u+v≡0 [2]⇔v≡b+u[2].

– Sinest pair,an−1est impair. On choisitu=2 etv∈{0, 1} tel quev≡b+u[2].

– Sinest impair,an−1est pair. On choisitu=1 etv∈{0, 1} tel quev≡b+u[2].

L’entierc=u(an−1+2v)an−2...a1a0est alors un entier équilibré qui est un multiple de 2ⁿ⁺¹ et s’écrit avecn+1 chiffres dont le premier à gauche est 1 ou 2.

À partir dex1=2, on peut donc construire par récurrence une suite (xn) d’entiers équilibrés telle que pour toutn>1,xnest un multiple de 2ⁿqui s’écrit avecnchiffres.

L’entierx2pest un multiple de 2^p5^q qui s’écrit avec un nombre pair de chiffres.

• Cas oùq>1.

Comme 2^p5^q n’est pas divisible par 20,p61.

Soitnun entier supérieur ou égal à 1.

On suppose qu’il existe un entier équilibréa=a2n−1an−2...a₁a0qui est un multiple de 2·5ⁿ et s’écrit avecnchiffres (le premier à gauche étant éventuellement 0).

On poseb=a·2⁻¹·5⁻ⁿ.

Soientuun entier naturel quelconque etc=a+u·10ⁿ. On ac=¡

b+u·2ⁿ⁻¹¢

·2·5ⁿ, donc c≡0£

2·5ⁿ⁺¹¤

⇔b+u·2ⁿ⁻¹≡0 [5]⇔b.(−2)ⁿ⁻¹+u≡0 [5]⇔u≡ −(−2)ⁿ⁻¹b[5].

Pourbetnfixés, il y a deux entiersustrictement inférieurs à 10 tels queu≡ −(−2)ⁿb[5]. L’un de ces entiers est pair, on le noteu0. L’autre est impair, on le noteu1.

– Sinest pair,an−1est impair. On choisitu=u0. – Sinest impair,an−1est pair. On choisitu=u₁.

L’entierc=ua_n−1a_n−2...a₁a₀ est alors un entier équilibré qui est un multiple de 2·5ⁿ⁺¹et s’écrit avecn+1 chiffres dont le premier à gauche est éventuellement 0.

À partir dey₂=50, on peut donc construire par récurrence une suite¡ y_n¢

d’entiers équilibrés telle que pour toutn>2,ynest un multiple de 2·5ⁿqui s’écrit avecnchiffres (le premier à gauche étant éventuellement 0).

L’entiery_2qest un multiple de 2^p5^q qui s’écrit avec un nombre pair de chiffres.

2. Tout entier qui n’est pas un multiple de 20 possède un multiple qui est équilibré.

Soitnun entier qui n’est pas un multiple de 20. Il existe trois entiers naturelsp,qetmtels que n=2^p5^qmetmimpair non divisible par 5.

D’après le paragraphe précédent, il existe un entier équilibréAqui s’écrit avec 2kchiffres et est un multiple de 2^p5^q.

SoitB=99...9=¡

10^2k−1¢ .

Le développement décimal du rationnel 1

B m est de la forme

+∞

X

i=1

ai·10⁻ⁱ. Il est périodique à partir d’un certain rang, donc il existe deux entiersretstels que pouri>r,a_i+s=a_i.

10^r+s B m −10^r

B m=

r+s

X

i=1

ai·10^r+s−i−

r

X

i=1

ai·10^r−iest un entier.

Donc 10^r(10^s−1) est un multiple deB m.

CommeBetmsont premiers avec 10, 10^s−1 est un multiple deB met il en est de même de 10^2sk−1 qui est un multiple de 10^s−1.

Finalement l’entierC = 10^{2k s}−1 10^2k−1 =

s−1

X

i=0

10^2ki est un multiple dem et l’entier AC est donc un multiple den.

L’écriture décimale deAC=

s−1

X

i=0

A·10^2ki est obtenue en concaténantsfois l’écriture décimale deA. CommeAest équilibré, commence par un chiffre impair et se termine par un chiffre pair, ACest un entier équilibré.

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