A 330. Questions d’équilibre
Un entier est dit « équilibré » si parmi deux chiffres consécutifs quelconques de sa représentation décimale l’un est pair et l’autre est impair. Par exemple 187830 est un entier équilibré.
A contrario, un entier est dit « déséquilibré » s’il existe au moins deux chiffres consécutifs de sa représentation décimale qui ont la même parité, par exemple 887831.
1°) Trouver le plus petit multiple de 2011 qui est équilibré.[*]
2°) Trouver l’entier le plus proche de 2011 dont tous les multiples sont déséquilibrés. [**]
3°) Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré. [****]
Solution proposée par Michel Lafond
1) Le plus petit multiple de 2011 équilibré est 30165 = 15 2011.
2) Le tableau ci-dessous :
2002 104946 = 210101892 2012 91 = 183092
2003 35 = 70105 2013 25 = 50325
2004 253 = 507012 2014 74 = 149036
2005 25 = 50125 2015 7 = 14105
2006 172 = 345032 2016 81 = 163296
2007 15 = 30105 2017 19 = 38323
2008 152 = 305216 2018 61 = 123098
2009 105 = 210945 2019 17 = 34323
2010 161 = 323610 2020
2011 15 = 30165
montre que l’entier le plus proche de 2011 qui n’a pas de multiple équilibré est 2020.
D’une manière générale aucun multiple de 20 n’a de multiple équilibré car si n = 20 a alors k n = 20 ka se termine par deux chiffres pairs.
Une partie de la question 3 est résolue.
3) Je pense qu’on a la :
Conjecture : Un entier est équilibré si et seulement si il n’est pas multiple de 20.
