A354 – Ces entiers qui font de la résistance
Q₁ Trouver le plus petit entier n₁ divisible par d = 2014 tel qu’en supprimant l’un des chiffres p non nul de sa représentation décimale, on obtient un nombre lui aussi divisible par d. Par exemple avec d =2, on aurait n₁ = 22
Q₂ Trouver le plus petit entier n₂ divisible par d = 2014 qui contient deux chiffres p et q > 0 dans sa représentation décimale, tels qu’en supprimant le chiffre p ou le chiffre q ou les deux chiffres p et q à la fois, on obtient trois nombres divisibles par d. Par exemple avec d =2, on aurait n₂ = 222.
Q₃ Démontrer que pour tout couple d’entiers (d, k) fixé à l’avance, il existe au moins un entier n, appelé « résistant », multiple de d, tel qu’en supprimant dans un ordre quelconque 1 puis 2, puis 3, etc...k chiffres non nuls de sa représentation décimale, on obtient à chaque fois des nombres toujours divisibles par d.
Solution proposée par Patrick Gordon Q₁
Notons pk le chiffre de rang k du nombre cherché n₁, en commençant par la droite (le chiffre des unités sera noté p0). Notons Tk et Qk la "tête" et la "queue" de ce nombre, qui s'écrit donc
"Tk pk Qk" et vaut :
n₁ = Tk 10k+1 +pk10k + Qk
Si l'on supprime pk, le nombre devient : n'₁ = Tk 10k + Qk
Nous cherchons un nombre "Tk pk Qk" tel que n₁ et n'₁ soient divisibles par 2014.
Leur différence
n₁ – n'₁ = Tk (10k+1 – 10k) +pk10k doit donc l'être aussi (condition nécessaire).
Mais 10k se met en facteur et il vient donc :
10k (9Tk+pk) divisible par 2014, soit encore : 5 × 10k-1 (9Tk+pk) divisible par 1007 = 19 × 53.
Ni 5 ni 10k-1 n'ayant de facteurs communs avec 1007, c'est (9Tk+pk) qui doit être divisible par 1007.
Les nombres Tk tels que (9Tk+pk) puisse être divisible par 1007 sont ceux tels que 9Tk+pk = 1007x (avec 1 ≤ pk ≤ 9, car nombre à 1 chiffre non nul).
Or, si le quotient et le reste de la division de 9Tk par 1007 sont q et r, on a : 9Tk – r = 1007q (avec 0 ≤ r ≤ 1006).
En soustrayant, on voit que pk + r est divisible par 1007. Mais 1 ≤ pk ≤ 9 et 0 ≤ r ≤ 1006.
Donc, pk + r étant ≤ 1015, s'il est divisible par 1007, il est égal à 1007 et r, reste de la division de 9Tk par 1007, doit être ≤ 1007 – 9 = 998.
On trouve aisément que les valeurs acceptables de Tk sont : 111, 223, 335… 895, c’est-à-dire 112n – 1 (pour n = 1 à 8) et que le pk correspondant à n est 9 – n.
Il nous faut donc examiner (au moyen d'un tableur) si, pour ces 8 valeurs de Tk : 111, 223, 335… 895, il existe un
n'₁ = Tk 10k + Qk
divisible par 2014. Si notre raisonnement est juste, n₁ = Tk 10k+1 +pk10k + Qk
le sera aussi.
Pour obtenir la plus petite solution, on commencera naturellement par les plus petites valeurs de k et, pour chacune, on examinera les 8 valeurs possibles de Tk. En effet, celles-ci s'étagent dans un rapport de 1 à 8 environ, alors que, quand on passe de k à k + 1, on augmente les nombres cherchés dans un rapport de l'ordre de 1 à 10.
Pour k = 0, on a Qk = 0 et c'est Tk lui-même qui doit être divisible par 2014. Or tous les Tk
sont impairs; c'est donc impossible.
Pour k = 1, on recherche n'₁ = 10 Tk + Qk (avec Qk à 1 chiffre) divisible par 2014. On ne trouve pas de solution.
Pour k = 2, on recherche n'₁ = 100 Tk + Qk (avec Qk à 2 chiffres) divisible par 2014. On ne trouve pas de solution.
Pour k = 3, on recherche n'₁ = 1000 Tk + Qk (avec Qk à 3 chiffres) divisible par 2014. On trouve plusieurs solutions dont la plus petite correspond à n = 2, soit Tk = 223 et Qk = 554.
On vérifie que 223554 = 111 × 2014 est bien divisible par 2014. En outre, comme n = 2, pk = 7 et l'on vérifie que 2237554 = 1111 × 2014 est bien divisible par 2014.
La réponse à cette question est donc : n₁ = 2237554.
Q2
Remarquant que n1 = 2014 × 1111 et n'1 = 2014 × 111, on essaye : n2 = 2014 × 11111 = 22377554.
Si l'on supprime l'un des deux 7 centraux, on retombe sur n1; si l'on supprime les deux, on retombe sur n'1.
n2 = 22377554 répond donc à la question.
Q3
Ici encore, l'intuition suggère d'essayer les nombres 11 d, 111 d, 1111 d, etc.
On constate, au moyen d'un tableur, que, si d est un nombre à c chiffres, on voit apparaître, dès le multiple 111…1 (c+1 fois 1) d, une structure "TfQ", qui deviendra "TffQ", puis
"TfffQ", etc. et qui répond donc à la question. On remarque, en outre, que f est la somme mod.9 des chiffres de d (exceptionnellement 9 si cette somme vaut 0 mod. d). On retrouve, en particulier le 7 obtenu pour 2014.
Reste à le démontrer.
Nous le ferons sur un exemple numérique illustratif qui n'ôte rien à la généralité.
Il suffit de poser la multiplication avec 111…1 (u fois le chiffre 1) en multiplicande et d (c chiffres) en multiplicateur.
Par exemple (avec u = 7 et c = 4) :
1 1 1 1 1 1 1
6 5 3 2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6
= 7 2 5 7 7 7 7 0 5 2
Dès la 4ème colonne de la droite (c = 4), les chiffres ne changent plus pendant 4 colonnes (u – c + 1) et, dès la 5ème (c+1), avec le jeu de la retenue, le 7 ne change plus dans la somme pendant 3 colonnes (u – c) (il peut se faire que ce "7" soit présent dès la colonne de rang c, comme c'est le cas ici).
Si l'on ajoute un 8ème "1" au multiplicande, les chiffres des colonnes ne changent pas mais il y a une 5ème colonne 2, 3, 5, 6 qui, avec le jeu de la retenue, donne un 4ème 7 dans la somme et ni la "tête" ni la "queue" ne changent.
1 1 1 1 1 1 1 1
6 5 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6
= 7 2 5 7 7 7 7 7 0 5 2
On peut vérifier que, en supprimant un nombre quelconque de 7, on reste avec un nombre multiple de d = 6532; à la limite, en supprimant tous les 7, il reste la tête et la queue, soit 725052, qui n'est autre que 6532 × 111.
On peut continuer avec un nombre quelconque de 1.
On peut donc obtenir un entier résistant pour (d,k) en multipliant le nombre par un nombre formé seulement de 1, jusqu'à ce que l'on voie apparaître k fois le même chiffre.
Nota
La poursuite du raisonnement indique que le nombre de 1 nécessaires pour avoir une valeur k donnée est c + k ou c + k – 1 selon les valeurs de d, c étant le nombre de chiffres de d.
