A354. Ces entiers qui font de la résistance

A354. Ces entiers qui font de la résistance

Solution proposée par Jean-Marie Breton : Première approche :

Soit un multiple de d, on peut l'écrire : an10ⁿ+ an-110^n-1+ … + a110 + a0 = d

Insérons un chiffre a à la m^ième puissance et écrivons que c'est encore un multiple de d, il vient : 10(an10ⁿ+ an-110^n-1+ … + am10^m) + a10^m + (am-110^m-1 + … + a110 + a0

)

Posons A = an10ⁿ+ an-110^n-1+ … + am10^m et B = am-110^m-1 + … + a110 + a0

On doit alors avoir 10A + a10^m + B = d

On a : A + B = d donc A  -B (d) d'où 10A + a10^m + B  -9B + a10^m 0 (d) soit : a10^m 9B (d) où m est le nombre de chiffre de B.

Si pour un  on trouve (m, a) répondant à la question alors on pourra insérer "a" autant de fois que l'on veut au rang de la puissance m de 10 puisque cela ne dépend que de B.

Par exemple

Pour d=11 en prenant B=1 on cherche 0<a<10 tel que 10a  9 (11) soit a = 2,

on trouve (m, a) = (1, 2) et 11, 121, 1221, 12221, …, 1222…2221 sont tous des multiples de 11.

Pour d=13 en prenant B=3 on cherche 0<a<10 tel que 10a  27  1 (13) soit a = 4,

on trouve (m, a) = (1, 4) et 13, 143, 1443, …, 144444…44443 sont tous des multiples de 13.

Pour d=17 en prenant B=7 on cherche 0<a<10 tel que 10a  63  12 (17) soit a = 8, on trouve (m, a) = (1, 8) et 17, 187, 1887, …, 18888…8887 sont tous multiples de 17.

Pour d=2014 et =111 d = 223554 en prenant B=554 on cherche 0<a<10 tel que 10³a  4986  958 (2014) on trouve (m, a) = (3, 7) et 223554, 2237554, 22377554, …, 22377…77554 sont tous multiples de 2014.

Cette première approche permet de comprendre le mode de construction en effet chaque terme est égal au précédent plus le produit du diviseur choisi d multiplié par une puissance de 10.

Ainsi 2237554 = 223554 + 2014000, 22377554 = 2237554 + 20140000 On peut généraliser à une base quelconque :

Soit un nombre d de n chiffres en base b : d = an-1b^n-1+ an-2b^n-2+ … + a1b + a0

=

Considérons l'addition: d + bd + b²d +b³d + … + b^m-1d = d*1111…11 = d*(b^m-1) / (b-1)

Retenues : … r2 r2 r2 r2 r1 … …

an-1 … a2 a1 a0 = d

+ an-1 an-2 … a1 a0 0 = bd

+ an-1 an-2 … … a0 0 0 = b²d

+ an-1 an-2 ... a1 … 0 0 0 = b³d

+ an-1 an-2 ... a1 a0 … 0 0 0 =

+ an-2 … a1 a0 0 … 0 0 0 = bⁿd

+ … a1 a0 0 0 … 0 0 0

+ … a1 a0 0 0 0 … 0 0 0

+ … a0 0 0 0 0 … 0 0 0

+ an-1 … 0 0 0 0 0 … 0 0 0

+

= an-1 … C C C C D … . . a0

A partir du coefficient de bⁿ⁺¹ la retenue se stabilise (nécessairement) et l'on a toujours le même chiffre C, si l'on en veut k il aller jusqu'à b^n+k. (Dans certains cas r2= r1 et on peut n'aller que jusqu'à b^n+k-1 la retenue étant stable dès le coefficient de bⁿ⁺¹)

Retirer un chiffre C revient ensuite à ne pas prendre dans la somme le plus grand terme.

Ceci répond au 3 questions.