A367. Les entiers font de la résistance

A367. Les entiers font de la résistance

Un entier 𝑁 de 𝑘 chiffres (𝑘 ≥ 1) est appelé « résistant » si la différence 𝑑(𝑁, 𝑘) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre 𝑘 de ses chiffres est strictement positive.

Par exemple, 12 est résistant car 12 − 1²− 2²= 7 > 0.

A l'inverse, 256 ne l'est pas car 256 − 2³− 5³− 6³= −93 < 0

Q1. Pour chacune des valeurs de 𝑘 variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers 𝑁 tels que 𝑑(𝑁, 𝑘) est maximal.

Q2. Démontrer qu'il existe un entier 𝑁0 tel que tous les entiers ≥ 𝑁0 sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer la plus petite valeur possible de 𝑁0.

Solution

Notations

Notons 𝑥𝑖 les chiffres de la représentation décimale de 𝑁 :

𝑁 = ∑ 10^𝑖𝑥_𝑖

𝑘−1

𝑖=0

Il vient alors :

𝑑(𝑁, 𝑘) = 𝑁 − ∑ 𝑥_𝑖^𝑘

𝑘−1

𝑖=0

= ∑ 10^𝑖𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖^𝑘

𝑘−1

𝑖=0

Question 1

Si 𝑘 = 1, alors 𝑑(𝑁, 𝑘) = 𝑥₀− 𝑥₀¹= 0, et toute valeur 𝑁 = 𝑥₀∈ {0 … 9} convient.

Si 𝑘 > 1, on maximise 𝑑(𝑁, 𝑘) en maximisant chacun de ses termes de la forme 𝑓(𝑥) = 10^𝑖𝑥 − 𝑥^𝑘. 𝑓′(𝑥) = 10^𝑖− 𝑘𝑥^𝑘−1= 0 ⇒ 𝑥 = 10^{(𝑘−1𝑖 )}𝑘^{(𝑘−1−1)}

On remarque que 0 < 𝑥 < 10. Si 𝑥 < 9, on détermine l’entier maximum en comparant explicitement : 𝑓 (⌈10^{(𝑘−1𝑖 )}𝑘^{(𝑘−1−1)}⌉) et 𝑓 (⌊10^{(𝑘−1𝑖 )}𝑘^{(𝑘−1−1)}⌋)

Tous calculs faits, on trouve :

𝒌 𝒙_𝒊 max 𝑵 max 𝒅(𝑵, 𝒌) max

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0…9 0…9 0

2 0, 1 5 50, 51 25

3 0, 1 2 6 620, 621 396

4 0, 1 1 3 6 6310, 6311 4932

5 0, 1 1 2 3 6 74210,74211 56346

6 0, 1 1 2 3 4 7 743210,743211 620671

7 0, 1 1 1 2 3 5 7 7532110,7532111 6628125

8 0, 1 1 1 2 3 4 5 7 75432110, 75432111 69204329

9 0, 1 1 1 2 2 3 4 6 8 864322110, 864322111 719743833

10 0, 1 1 1 1 2 3 4 5 6 8 8654321110, 8654321111 7509238833

Question 2

Posons 𝑁0= 102 × 10⁵⁷.

Vérifions tout d’abord que 𝑁0− 1 n’est pas résistant.

𝑑(𝑁₀− 1, 60) = (102 × 10⁵⁷− 1) − 1⁶⁰− 1⁶⁰− 58 × 9⁶⁰≅ −4 × 10⁵⁶< 0 Supposons 𝑁 ≥ 10⁶⁰, c’est à dire 𝑘 ≥ 61. On a :

𝑑(𝑁, 𝑘) > 10^𝑘−1− 𝑘. 9^𝑘 𝑔(𝑥) = 𝑥 ln10

9 − ln 𝑥 − ln 10 ⇒ 𝑔′(𝑥) = ln10 9 −1

𝑥

∀𝑥 ≥ 61, 𝑔^′(𝑥) > 0 ⇒ ∀𝑥 ≥ 61, 𝑔(𝑥) > 𝑔(61) > 0 𝑑(𝑁, 𝑘) > 0

Supposons 110 × 10⁵⁷≤ 𝑁 < 10⁶⁰. On a :

𝑑(𝑁, 𝑘) ≥ 110 × 10⁵⁷− 60 × 9⁶⁰≅ 2 × 10⁵⁷> 0 Supposons 103 × 10⁵⁷≤ 𝑁 < 110 × 10⁵⁷. On a :

𝑑(𝑁, 𝑘) ≥ (100 + 𝑥)10⁵⁷− 1⁶⁰− 𝑥⁶⁰− 57 × 9⁶⁰> 0 pour 3 ≤ 𝑥 ≤ 9

Supposons 𝑁0= 102 × 10⁵⁷≤ 𝑁 < 103 × 10⁵⁷. On a :

𝑑(𝑁, 𝑘) ≥ (1020 + 𝑥)10⁵⁶− 1⁶⁰− 2⁶⁰− 𝑥⁶⁰− 56 × 9⁶⁰> 0 pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 9

Au final, 𝑑(𝑁0− 1, 60) < 0 et 𝑁 ≥ 𝑁0⇒ 𝑑(𝑁, 𝑘) > 0.

Ce qu’il fallait démontrer.