Q₁ Trouver le plus petit entier n₁ divisible par d = 2014 tel qu’en supprimant l’un de ses chiffres p non nul de sa représentation décimale,on obtient un nombre lui aussi divisible par d.Par exemple avec d =2, on aurait n₁ = 22
Q₂ Trouver le plus petit entier n₂ divisible par d = 2014 qui contient deux chiffres p et q > 0 dans sa représentation décimale, tels qu’en supprimant le chiffre p ou le chiffre q ou les deux chiffres p et q à la fois, on obtient trois nombres divisibles par d. Par exemple avec d =2, on aurait n₂ = 222.
Q₃ Démontrer que pour tout couple d’entiers (d,k) fixé à l’avance, il existe au moins un entier n, appelé « résistant », multiple de d, tel qu’en supprimant dans un ordre quelconque 1 puis 2, puis 3, etc...k chiffres non nuls de sa représentation décimale, on obtient à chaque fois des nombres toujours divisibles par d.
Q1 : Si p est le chiffre de rang m , le nombre cherché est de la forme (10a+p)*10m+b avec b<10m : il est divisible par d=2014, ainsi que a*10n+b, donc aussi (9a+p)*10n : 9a+p est donc divisible par 1007 : 1007=9*111+8 et les premiers multiples de 1007 s’écrivent 9*223+7, 9*335+6, 9*447+5, 9*559+4, 9*671+3, 9*783+2, 9*895+1 223554 est le plus petit multiple de 2014 commençant par l’un des nombre 111, 223, 335, 447, 559, 671, 783 ou 895 : le nombre cherché est n1=2237554=1111*2014, avec p=7 et n0=223554=111*2014.
Q2 : Remarquant que 11111*2014=22377554, c’est donc le nombre n2 cherché : en supprimant les chiffres 7 on obtient n1 ou n0, multiples de 2014, et c’est le plus petit, car sinon n1 ne serait pas minimal.
Q3: Soit m le nombre de chiffres de d ; notons Im =1...1 (m chiffres) : Im*d=a*10m+b est un nombre de 2m-1 chiffres (m-1 pour a et m pour b) et
Im+1*d=10*Im*d+d=102md+Im*d en a 2m. En identifiant sous les deux formes, on voit que l’écriture décimale de Im+1*d commence a*10m+1 et se termine par b. Donc
Im+1*d=a*10m+1+p*10m+b. Et ainsi de suite : Im+k*d=a*10m+k+1+Ik*p*10m+b. Ce nombre répond au problème posé.
