A384 – Les égalisateurs
Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers p.n et q.n ont le même nombre de diviseurs.
Q₁ Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q₂ Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q₁
Le nombre de diviseurs d’un nombre n ayant la décomposition en facteurs premiers suivantes p1*a1 . p2*a2…p3*a3 est égale à d(n)= (1+a1).(1+a2)…(1+an) .
Un égalisateur minimum de deux nombres ayant pour facteurs premiers respectivement p1,p2 ..,pn et q1,q2 ..,qn sera un produit des puissances de p1,p2,pn,q1,q2,.. qn . En effet un égalisateur comportant un autre facteur premier que ces p et q sera neutre vis-à-vis du résultat.
Premier cas P=20 soit 2*2 .5 et Q= 81 soit 3*4.
Le nombre égalisateur sera de la forme 2*a.5*b.3*c. Le nombre de diviseurs de P.E sera (3+a).(2+b).(c+1), tandis que celui de Q.E sera (a+1).(b+1).(5+c). En prenant a=3 et c=1 , on obtient 24 dans les deux cas.
Pour P=1610 soit 2.5.7.23 et Q=2019 soit 3.673, on peut prendre pour E : 2*4 . 5*3 . 7*2 .
En effet pour P on a P.E = 2*5 . 5*4 . 7*3 .23 qui a comme nombre de diviseurs (5+1).(4+1).(3+1).(1+1) soit 240, tandis que Q.E= 2*4 . 5*3 . 7*2 . 3 . 673 a (4+1).(3+1).(2+1).2 .2 soit également 240.
Pour P= 1961 soit 37 . 53 et Q= 37 . 53 . 43, on constate que P= Q . 53 . On ne peut trouver d’égalisateur car toute puissance de 37 ou 43 (ou tout autre nombre premier différent de 43) apportera la même contribution en terme de diviseurs pour P.E et Q.E tandis qu’il y aura une différence de 1 pour le coefficient contributif lié à 43 pour les deux nombres P.E et Q.E.
Q₂
On remarque d’abord que entre deux nombres N1=p*a et N2=p*b avec a >b il est possible de trouver un multiplicateur M tel que le rapport R des diviseurs des deux nombres M.N1 et M.N2 soit tel que R = (k+1)/k.
Il faut pour cela choisir M= p*x avec x tel que (a+1+x)=(b+1+x).(k+1)/k, soit x=k.(a-b)- b – 1. Ceci est toujours possible quel que soit k quand b est nul, et il faut que k soit supérieur ou égal à (b+1)/(a-b) quand b n’est pas nul.
2019 a deux facteurs premiers 3 et 673. On aura d’un côté N1=3. 673 et de l’autre côté, pour tous les nombres ni multiples ni diviseur de N1, un nombre N2 =p1*a1. p2*a2….pr*ar avec au plus un des deux facteurs 3 ou 673 présents
La fonction Nombre de diviseurs étant multiplicative, on saura trouver E2 comme produit des puissances p1, p2,.., pr tel que le rapport des diviseurs entre N2.E2 et N1.E2 soit égal à 2. Ceci est toujours vrai pour les nombres
<10000 car N2 possède au plus 5 facteurs premiers distincts. S’il en a 5 on saura trouver un nombre E2 tel que pour le premier facteur on obtienne le rapport 10/9, pour le second 9/8, et le dernier 6/5, soit un produit égal à 2.
Même chose s’il y a 4 facteurs avec les rapports 8/7 . 7/6 . 6/5. 5/4, pour 3 facteurs avec 6/5.5/4.4/3, et pour 2 facteurs avec 4/3. 3/2.
De l’autre côté pour N1 =3.673, il y a au moins un des deux facteurs qui n’est pas facteur premier de N1, et donc on peut trouver un multiplicateur E1 tel que le rapport du nombre de diviseurs par rapport à ces facteurs entre N1 et N2 soit aussi égal à 2.
Donc il y a bien égalité du nombre de diviseurs. CQFD
Les nombres non « égalisables » avec 2019 sont donc tous les nombres qui sont soit multiples soit diviseurs de 2019 à l’exception du nombre 2019 lui-même, soit au total les 6 nombres suivants 1, 3, 673, 4038, 6057, 8076.
