UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2014-2015 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Examen du jeudi 8 janvier 2015 dur´ee : 2h
Documents et calculatrices interdits
Sauf mention explicite du contraire, toutes les r´eponses doivent ˆetre soigneusement justifi´ees. La qualit´e de la r´edaction sera un ´el´ement d’appr´eciation de la copie.
Dans tout ce sujet, Kd´esigne un corps.
Questions de cours
1. Montrer que si deux polynˆomes P et Q de K[X] ont les mˆemes diviseurs, alors ils sont associ´es.
2. A l’aide du lemme de Bezout, montrer les deux r´` esultats suivants :
a. Pour tous P, Q, R ∈ K[X], si P et Q sont premiers entre eux et P divise QR, alors P divise R.
b. Pour tous P, Q, R ∈ K[X], si P et Q sont premiers entre eux et divisent R, alors P Q divise R.
3. Soit f : E → E un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie E. Soit λ une valeur propre de f. D´efinir la multiplicit´e alg´ebrique mλ et la multiplicit´e g´eom´etrique gλ deλ. Montrer quegλ ≤mλ.
Exercice 1
On consid`ere la matrice suivante :
A=
1 0 −1 0
0 0 1 −1
−1 0 1 0
1 −1 0 0
.
1. Constater que les sommes des coefficients des lignes de A sont ´egales et en d´eduire que le
vecteur colonne
1 1 1 1
est vecteur propre de A.
2. Montrer que le polynˆome caract´eristique de A estX(X−1)(X+ 1)(X−2).
3. Quel est le reste de la division euclidienne de X8 par X(X−1)(X+ 1)(X−2) ? 4. D´eterminer A8.
Exercice 2
Soient a, b∈Cet P(X) = X4+aX3+ (b−1)X2−aX−b.
1. Montrer que 1 et −1 sont racines du polynˆome P. En d´eduire que X2−1 divise P(X).
2. Calculer P0(1) etP0(−1) (o`u P0 d´esigne le polynˆome d´eriv´e de P).
3. Pour quelles valeurs de a et b le polynˆome X4 +aX3 + (b−1)X2 −aX −b est-il le carr´e d’un polynˆome deC[X] ?
Exercice 3
On consid`ere l’endomorphismef deR3 dont la matrice dans la base canoniqueBcan deR3 est :
matBcan f =
0 −1 −1
−1 1 2
1 −1 −2
.
1. Calculer le d´eterminant de f, le rang de f et la trace de f.
2. Donner une base du noyau de f.
3. Montrer que f n’est pas diagonalisable.
4. Quel est le polynˆome minimal de f?
5. Montrer que R3 se d´ecompose comme somme directe R3 = Ker f2⊕Ker (f + id ) de deux sous-espaces vectoriels stables par f.
6. a. Montrer que Kerf ⊂Kerf2.
b. Trouver une base B de R3 dans laquelle la matrice de f est de la forme
matB f =
−1 0 0
0 0 a
0 0 0
avec a∈R (indication : cette matrice est une matrice diagonale par blocs).
c. A l’aide de cette base` B, trouver une base B0 telle que matB0 f =
−1 0 0
0 0 1
0 0 0
.
Exercice 4
Dans l’espace vectoriel E = K[X] de dimension infinie, on note F = K3[X] le sous-espace vectoriel form´e des polynˆomes de degre au plus 3 etG l’ensemble des polynˆomes divisibles par X4.
1. Montrer que G est un sous-espace vectoriel deE et que E =F ⊕G.
On consid`ere l’application suivante :
f : E →E P(X)7→P(X2)
.
2. Montrer que f est lin´eaire et que les seuls vecteurs propres de f sont les polynˆomes de degr´e 0.
3. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E de dimension finie stables parf?
