A427 – Une ribambelle de carrés [*** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Soit un entier p ≥ 1. On cherche les entiers naturels distincts a et b tels que les six produits des entiers a,b,a + p et b + p pris deux à deux donnent le plus grand nombre possible m(p) de carrés
parfaits.Démontrer que : Q₁ m(p) > 1 quel que soit p.
Q₂ m(p) = 2 pour un nombre fini de valeurs de p.
Q₃ si m(p) > 3 alors m(p) = 6.
Q₄ il existe une infinité de valeurs de p telles que m(p) = 6. Déterminer le plus petit entier p et un couple (a,b) tel que m(p) = 6.
Solution proposée par Daniel Collignon
Remarque : 0 est un entier naturel et un carré parfait, mais si a=0 et b=4p, alors ab=a(a+p)=a(b+p)=0 et b(a+p)=4p², d'où m(p)>=4.
Dans la suite, on supposera a et b non nuls.
Q1 et Q2
p = 1 : a=1 et b=8 ; a(b+p)=3² et b(a+p)=4², d'où m(p)>=2 p = 2 : a=2 et b=16 ; a(b+p)=6² et b(a+p)=8², d'où m(p)>=2 p = 4 : a=1 et b=5 ; a(b+p)=3² et b(a+p)=5², d'où m(p)>=2 Pour i>=1 :
si p = 2i+1, alors posons a = i² et b = a+p, de sorte que ab=a(a+p)=(i(i+1))² et b(a+p)=b² et donc m(p)>=3
si p = 4i+4, alors posons a = i² et b = a+p, de sorte que ab=a(a+p)=(i(i+2))² et b(a+p)=b² et donc m(p)>=3
si p = 4i+2, alors posons a = 2*i² et b = a+p, de sorte que ab=a(a+p)=(2i(i+1))² et b(a+p)=b² et donc m(p)>=3
Ainsi pour p>=5, m(p)>=3.
Q3
Lemme : si (p/q)² est entier, alors p/q est entier.
p/q = p'/q' avec p' et q' premiers entre eux p'²=n*q'² et p' divise n, soit n=n'p'
D'où p'/q' = n*q'/p' = n'*q' entier.
On dessine le graphe dont les sommets sont les 6 produits de 2 entiers. Deux sommets sont reliés par une arête s'ils ont un entier en commun.
Voici la matrice d'adjacence : 123456
1011011 2101110 3110101 4011011 5110101 6101110
Quitte à renuméroter les sommets, supposons que le produit du sommet 1 ne soit pas un carré.
L'un des triangles 123 et 156 possède deux sommets qui sont un carré.
En multipliant les produits des deux sommets, nous déduisons du lemme que le produit du sommet 1 est un carré.
Exemple : b(a+p) = x² et a(a+p)=y² => ab(a+p)² = (xy)², d'où ab = (xy/(a+p))² = z² Q4
Exemple de famille : a = (3i+4)², b = i² et p = 6i+9 => a+p = (3i+5)² et b+p = (i+3)², de sorte que m(p) = 6
p=15 : a=1 et b=49 : ab=7², a(a+p)=4², b(a+p)=28², a(b+p)=8², b(b+p)=56², (a+p)(b+p)=32²
