A382− Achille est fort
Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.
Un nombre d’Achille(1) est un entier puissant sans être une puissance parfaite.
Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.
φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler (qui est le nombre d'entiers strictement positifs ≤n et premiers avec n), un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n) = φ(φ(n)),…
…,φ(k)(n) sont tous des nombres d’Achille.
Q₁ Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.
Q₂ Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.
Q₃ Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 107.
(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.
Solution proposée par Daniel Collignon Q1
n=produit(i, p_i^q_i) est puissant si q_i >=2 n est un nombre d'Achille si de plus PGCD(a_i)=1
Le tableau suivant procède par balayage des puissances croissantes :
n\p_i 2 3 5 7 11 13
108 2 3
972 2 5
500 2 3
1372 2 3
72 3 2
648 3 4
1944 3 5
200 3 2
392 3 2
968 3 2
1352 3 2
1800 3 2 2
432 4 3
2000 4 3
288 5 2
864 5 3
800 5 2
1568 5 2
1152 7 2
675 3 2
1125 2 3
1323 3 2
D'où les 22 nombres 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000
Référence : https://oeis.org/A052486
Q2
phi(n)=n*produit(1-1/p_i)=produit(i, p_i^(q_i-1)*(p_i-1))
On vérifie parmi les 22 nombres de Q1, les n tels que phi(n) fait également partie des 22 nombres Il y a 500, 864, 1944 et 2000
Référence : https://oeis.org/A194085
