A382*** - Achille est fort Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille

A382*** - Achille est fort

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n, c’est-à-dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n, un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ⁽²⁾(n )= φ(φ(n)),… …, φ^(k)(n) = φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.

Q1 - Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q2 - Déterminer les nombres d’Achille forts au 1^er degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.

Q3 - Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au 3^ème degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

(1) Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Proposition de Marc Humery

Q1/ Recenser les nombres d’Achille n ≤ 2019

1/ n = (p1x.p2y) ≤ 2019 ; p1 < p2 ; p1 = 2 ; p2 = 3, 5, 7, 11, 13 ; x, y ≥ 2 ; pgcd (x, y) = 1

2/ (p1x.p2y) ≤ 2019 ; p1 < p2 ; p1 = 3 ; p2 = 5, 7 ; p1 = 5 ; p2 = 7 ; x, y ≥ 2 ; pgcd (x, y) = 1

3/ n = (2^x.3^y.5^z) ; (2^x.3^y.7^z) ; (2^x.5^y.7^z) … ≤ 2019 ; p1 < p2 < p3 ; x, y, z ≥ 2 ; pgcd (x, y, z) = 1

4/ nmin = (2³.3².5².7²) = 88 200 > 2 019 ; p1 < p2 < p3 < p4 ; => Fin Conclusion : 22 nombres d’Achille n ≤ 2019

2³ x 3² = 72 2² x 3³ = 108 2³ x 5² = 200 2⁵ x 3² = 288 2³ x 7² = 392 2⁴ x 3³ = 432 2² x 5³ = 500 2³ x 3⁴ = 648 3³ x 5² = 675 2⁵ x 5² = 800 2⁵ x 3³ = 864 2³ x 11² = 968 2² x 3⁵ = 972 3² x 5³ = 1 125 2⁷ x 3² = 1 152 3³ x 7² = 1 323 2³ x 13² = 1 352 2² x 7³ = 1 372 2⁵ x 7² = 1 568 2³x3²x5²= 1800 2³ x 3⁵ = 1 944 2⁴ x 5³ = 2 000 2³ x 17² = 2 312 2⁵ x 3⁴ = 2 592

2^23^3 n1 3^5 n2 3^7 n3 2^2 5^3 n1 5^5 n2 2^2 7^3 n1 7^5 n2 2^2 11^3 n1

4 27 108 243 972 2 187 8 748 4 125 500 3 125 12 500 4 343 1 372 16 807 67 228 4 1 331 5 324

2^33^2 n1 3^4 n2 3^5 n3 3^7 n4 2^3 5^2 n1 5^4 n2 2^3 7^2 n1 7^4 n2 2^3 11^2 n1 11^4 n2

8 9 72 81 648 243 1 944 2 187 17 496 8 25 200 625 5 000 8 49 392 2 401 19 208 8 121 968 14 641 117 128

2^43^3 n1 3^5 n2 2^4 5^3 n1 5^5 n2 2^4 7^3 n1 2^4 11^3 n1

16 27 432 243 3 888 16 125 2 000 3 125 50 000 16 343 5 488 16 1 331 21 296

2^53^2 n1 3^3 n2 3^4 n3 2^5 5^2 n1 5^3 n2 2^5 7^2 n1 7^3 n2

32 9 288 27 864 81 2 592 32 25 800 125 4 000 32 49 1 568 343 10 976 2^2 13^3 n1

2^6 3^5 n1 2^6 5^5 n2 2^6 7^5 n2 4 2 197 8 788

64 243 15 552 64 3 125 200 000 64 16 807 1 075 648 2^3 13^2 n1 13^4 n2

2^73^2 n1 3^3 n2 8 169 1 352 28 561 228 488

128 9 1 152 27 3 456 2^4 13^3 n1

2^8 3^3 n1 16 2 197 35 152

256 27 6 912

3^25^3 n1 5^5 n2 3^2 7^3 n1 5^2 7^3 n1

9 125 1 125 3 125 28 125 9 343 3 087 25 343 8 575

3^35^2 n1 5^4 n2 3^3 7^2 n1 7^4 n2 5^3 7^2 n1

27 25 675 625 16 875 27 49 1 323 2 401 64 827 125 49 6 125

3^4 5^3 n1 3^4 7^3 n1

81 125 10 125 81 343 27 783

2^3 3^2 5^2 n1 2^2 3^3 5^2 n2 2^2 3^2 5^3 n3 2^3 3^3 5^2 n4 8 9 25 1 800 4 27 25 2 700 4 9 125 4 500 27 8 25 5 400 2^3 3^2 7^2 n 2^2 3^3 7^2 n 2^2 3^2 7^3 n

8 9 49 3 528 4 27 49 5 292 4 9 343 12 348 2^3 5^2 7^2 n

8 25 49 9 800

Q2/ Déterminer les nombres d’Achille forts au 1^er degré ( ≤ 2019) A/ Propriétés de φ(n)

Entier premier p ; φ(p) = (p-1) ; φ(2) = 1 φ(p) = 2^a.piu.pjv… avec 2 < pi < pj < … < p φ(p^x) = φ(p).p^x-1 ; φ(2^x) = 2^x-1

Entier naturel n = (p1x.p2y….pmz) ; x, y, …, z ≥ 1 ; 2 ≤ p1 < p2 < … < pm φ(n) = φ(p1x.p2y….pmz) = φ(p1).φ(p2)… φ(pm).p1x-1p2y-1… pmz-1

Aucun des facteurs premiers pi, pj, … contenus dans φ(p1), φ(p2), …, φ(pm) ne peut être égal au plus grand facteur premier pm présent dans la factorisation de n.

Si z ≥ 2, le facteur premier (pm)^z reste présent sous la forme (pm)^z-1 dans la factorisation de φ(n).

Si z ≥ k+1, le facteur premier (pm)^z devient (pm)^z-k dans la factorisation de φ^(k)(n).

nombre d’Achille n = (p1x.p2y….pmz) ; x, y, …, z ≥ 2 ; 2 ≤ p1 < p2 < … < pm ; pgcd(x, y, … , z) = 1 nombre d’Achille φ(n) = [φ(p1).φ(p2) … φ(pm).p1x-1p2y-1…].pmz-1 => z-1 ≥ 2 => z ≥ 3

Si n et φ(n) nombres d’Achille => z ≥ 3

Condition nécessaire : n, φ(n), φ⁽²⁾(n), …, et φ^(k)(n) nombres d’Achilles => z ≥ k+2

B/ Détermination de n et φ(n), nombres d’Achille

Parmi 22 nombres d’Achille n ≤ 2019, il y en a 21 de la forme (p1x.p2y) et un seul égal à (2³.3².5²) 1 / n = p1x.p2y ; x ≥ 2 ; y ≥ 3

+ n pair ; n = 2^x.p2y ; φ(n) = φ(p2).2^x-1.p2y-1 ; x ≥ 2 ; y ≥ 3 x = 2 => n = {2² x 3³ ; 2² x 5³ ; 2² x 3⁵ ; 2² x 7³} φ(2².3³) = φ(3).2¹.3² = 2².3² = (2.3)² non

φ(2².5³) = φ(5).2¹.5² = 2³.5² = 200 oui φ(2².3⁵) = φ(3).2¹.3⁴ = 2².3⁴ = (2.3²)² non φ(2².7³) = φ(7).2¹.7² = 2².3.7² non

x = 3 => n = {2³ x 3⁴ ; 2³ x 3⁵} φ(2³.3⁴) = φ(3).2².3³ = 2³.3³ = (2.3)³ non φ(2³.3⁵) = φ(3).2².3⁴ = 2³.3⁴ = 648 oui

x = 4 => n = {2⁴ x 3³ ; 2⁴ x 5³} φ(2⁴.3³) = φ(3).2³.3² = 2⁴.3² = (2².3)² non φ(2⁴.5³) = φ(5).2³.5² = 2⁵.5² = 800 oui

x = 5 => n = 2⁵ x 3³

φ(2⁵.3³) = φ(3).2⁴.3² = 2⁵.3² = 288 oui

+ n impair : n = 3² x 5³ => φ(3².5³) = φ(3).φ(5).3.5² = 2³.3.5² non 2/ n = p1x.p2y.p3z = 2³.3².5² ; z = 2 < 3 non

Conclusion : 4 nombres d’Achille forts au 1^er degré inférieurs ou égaux à 2019

2² x 5³ 2⁵ x 3³ 2³ x 3⁵ 2⁴ x 5³

500 864 1 944 2 000

Q3 - Déterminer les nombres d’Achille forts n jusqu’au 3^ème degré (n ≤ 10⁷)

nombre d’Achille n = (p1a.p2b….pmz) ; a, b, …, z ≥ 2 ; 2 ≤ p1 < p2 < … < pm ; pgcd(a, b, … , z) = 1 condition nécessaire : n, φ(n), φ⁽²⁾(n) et φ⁽³⁾(n) nombres d’Achilles => z ≥ 5

A/ Nombre m de facteurs premiers pi composant un nombre d’Achille n ≤ 10⁷ n = (p1a.p2b….pmz) ; a, b, …, z ≥ 2 ; 2 ≤ p1 < p2 < … < pm ; pgcd(a, b, … , z) = 1 m = 2 ; nmin = 2³.3² = 72

m = 3 ; nmin = 2³.(3.5)² = 1 800 m = 4 ; nmin = 2³.(3.5.7)² = 88 200

m = 5 ; nmin = 2³.(3.5.7.11)² = 10 672 200 > 10⁷ non

résultat : un nombre d’Achille n ≤ 10⁷ est composé de 2, 3 ou 4 facteurs premiers pi

B/ Nombre m de facteurs premiers pi composant un nombre d’Achille particulier n ≤ 10⁷ dont l’exposant z du facteur premier le plus élevé pm vérifie z ≥ 5

n = (p1a.p2b….pmz) ; a, b, … ≥ 2 ; 2 ≤ p1 < p2 < … < pm ; pgcd(a, b, … , z) = 1 ; z ≥ 5 m = 2 ; nmin = 2².3⁵ = 972

m = 3 ; nmin = 2².3².5⁵ = 112 500

m = 4 ; nmin = 2².3².5².7⁵ = 15 126 300 > 10⁷ non

résultat : un nombre d’Achille n ≤ 10⁷ dont l’exposant z du facteur premier le plus élevé (pm)^z vérifiant z ≥ 5 est composé de 2 ou 3 facteurs premiers pi

C/ Détermination des nombres d’Achille forts jusqu’au 3^ème degré (n ≤ 10⁷) n = (p1a.p2b) ou (p1a.p2b.p3c), φ(n), φ⁽²⁾(n) et φ⁽³⁾(n) nombres d’Achilles

C1/ m = 2 ; n = (p1a.p2b) nombre d’Achille fort ; 2 ≤ p1 < p2 ; b ≥ 5 C11/ p1 = 2 ; n = 2^a.p2b

+ p2 = 3 => n = 2^a.3^b ; φ(n) = 2^a.3^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a.3^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a.3^b-3 => a ≥ 2

conditions : a^b = 1 ; a^(b-1) = 1 ; a^(b-2) = 1 ; a^(b-3) = 1 => a impair non multiple de 3 a = 5 ; n = 2⁵.3^b ≤ 10⁷ =>b ≤ 11 ; b = 6, 7, 8, 9, 11 => b-1 = 6, 7, 8 => b-2 = 6, 7 => b-3 = 6 oui

=> n1 = 2⁵.3⁹ = 629 856

a = 7 ; n = 2⁷.3^b ≤ 10⁷ => b ≤ 10 ; b = 5, 6, 8, 9, 10 => b-1 = 4, 5, 8, 9 => b-2 = 3, 4, 8 => b-3 = 2, 3 oui

=> n2 = 2⁷.3⁵ = 31 104 ; n3 = 2⁷.3⁶ = 93 312

a = 11 ; n = 2¹¹.3^b ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 5, 6, 7 => b-1 = 4, 5, 6 => b-2 = 3, 4, 5 => b-3 = 2, 3, 4 oui

=> n4 = 2¹¹.3⁵ = 497 664 ; n5 = 2¹¹.3⁶ = 1 492 992 ; n6 = 2¹¹.3⁷ = 4 478 976

a = 13 ; n = 2¹³.3^b ≤ 10⁷ => b ≤ 6 ; b = 5, 6 => b-1 = 4, 5 => b-2 = 3, 4 => b-3 = 2, 3 oui

=> n7 = 2¹³.3⁵ = 1 990 656 ; n8 = 2¹³.3⁶ = 5 971 968 a = 17 ; n = 2¹⁷.3^b ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non Fin

+ p2 = 5 => n = 2^a.5^b ; φ(n) = 2^a+1.5^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+2.5^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+3.5^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; (a+1)^(b-1) = 1 ; (a+2)^(b-2) = 1 ; (a+3)^(b-3) = 1

a = 2 ; n = 2².5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 9 ; b = 5, 7, 9 => b-1 = 4, 8 => b-2 = 3, 7 => b-3 = 2, 6 oui

=> n9 = 2².5⁵ = 12 500 ; n10 = 2².5⁹ = 7 812 500

a = 3 ; n = 2³.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 8 ; b = 5, 7, 8 => b-1 = 7 => b-2 = 6 => b-3 = 5 oui => n11 = 2³.5⁸ = 3 125 000 a = 4 ; n = 2⁴.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 5, 7 => b-1 = 4, 6 => b-2 = 5 => b-3 = 4 oui => n12 = 2⁴.5⁷ = 1 250 000 a = 5 ; n = 2⁵.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 6, 7 => b-1 = 5 => b-2 = 4 => b-3 = 3 oui => n13 = 2⁵.5⁶ = 500 000 a = 6 ; n = 2⁶.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 5, 7 => b-1 = 4, 6 => b-2 = 3, 5 => b-3 = 2, 4 oui

=> n14 = 2⁶.5⁵ = 200 000 ; n15 = 2⁶.5⁷ = 5 000 000

a = 7 ; n = 2⁷.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 5, 6 => b-1 = 5 => b-2 = 4 => b-3 = 3 oui => n16 = 2⁷.5⁶ = 2 000 000 a = 8 ; n = 2⁸.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 => b-2 = 3 => b-3 = 2 oui => n17 = 2⁸.5⁵ = 800 000 a = 9 ; n = 2⁹.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 non

a = 10 ; n = 2¹⁰.5^b ≤ 10⁷ =>b = 3 non

a = 11 ; n = 2¹¹.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 non a = 12 ; n = 2¹².5^b ≤ 10⁷ => néant

a = 13 ; n = 2¹³.5^b ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

+ p2 = 7 => n = 2^a.7^b ; φ(n) = 2^a.3.5^b-1 non Fin + p2 = 11 => n = 2^a.11^b ; φ(n) = 2^a.5.11^b-1 non Fin + p2 = 13 => n = 2^a.13^b ; φ(n) = 2^a+1.3.13^b-1 non Fin

+ p2 = 17 => n = 2^a.17^b ; φ(n) = 2^a+3.17^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+6.17^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+9.17^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; (a+3)^(b-1) = 1 ; (a+6)^(b-2) = 1 ; (a+9)^(b-3) = 1

a = 2 ; b = 5 ; n = 2².17⁵ < 10⁷ ; 2^5 =1 ; 5^4 = 1 ; 8^3 = 1 ; 11^2 = 1 oui => n18 = 2².17⁵ = 5 679 428 a = 3 ; b = 5 ; n = 2³.17⁵ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 6 ; n = 2².17⁶ > 10⁷ et 2^6 = 2 ≠ 1 non Fin

+ p2 = 19 => n = 2^a.19^b ; φ(n) = 2^a.3².19^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+1.3³.19^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+2.3⁴.19^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; pgcd(a, 2, b-1) = 1 ; pgcd(a+1, 3, b-2) = 1 ; pgcd(a+2, 4, b-3) = 1

a = 2 ; b = 5 ; n = 2².19⁵ < 10⁷ ; 2^5 = 1 ; pgcd(2, 2, 4) = 2 ≠ 1 non Fin a = 3 ; b = 5 ; n = 2³.19⁵ > 10⁷ non Fin

+ p2 = 23 => n = 2^a.23^b ; φ(n) = 2^a.11.23^b-1 non Fin

∀p2 > 23 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

C12/ p1 = 3 ; n = 3^a.p2b ; b ≥ 5

+ p2 = 5 => n = 3^a.5^b ; φ(n) = 2³.3^a-1.5^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2⁵.3^a-2.5^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2⁷.3^a-3.5^b-3 => a ≥ 5 conditions : a^b = 1 ; pgcd(3, a-1, b-1) = 1 ; pgcd(5, a-2, b-2) = 1 ; pgcd(7, a-3, b-3) = 1 a = 5 ; n < 10⁷ => b ≤ 6 ; b = 6 => b-1 = 5 => b-2 = 4 => b-3 = 3 oui => n19 = 3⁵.5⁶ = 3 796 875 a = 6 ; n ≤ 10⁷ => b = 5 => b-1 = 4 => b-2 = 3 => b-3 = 2 oui => n20 = 3⁶.5⁵ = 2 278 125

a = 7 ; n ≤ 10⁷ => b = 5 => b-1 = 4 => b-2 = 3 => b-3 = 2 oui => n21 = 3⁷.5⁵ = 6 834 375 a = 8 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non Fin

+ p2 = 7 => n = 3^a.7^b ; φ(n) = 2².3^a.7^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2³.3^a.7^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2⁴.3^a.7^b-3 => a ≥ 3 conditions : a^b = 1 ; pgcd(2, a, b-1) = 1 ; pgcd(3, a, b-2) = 1 ; pgcd(4, a, b-3) = 1 a = 3 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 7 ; b = 5, 7 => b-1 = 4, 6 non

a = 4 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 non a = 5 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

+ p2 = 11 => n = 3^a.11^b ; φ(n) = 2².3^a-1.5.11^b-1 non Fin

+ p2 = 13 => n = 3^a.13^b ; φ(n) = 2³.3^a.13^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2⁵.3^a.13^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2⁷.3^a.13^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; pgcd(3, a, b-1) = 1 ; pgcd(5, a, b-2) = 1 ; pgcd(7, a, b-3) = 1

a = 2 ; n = 3².13^b ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 => b-2 = 3 => b-3 = 2 oui => n22 = 3².13⁵ = 3 341 637 a = 3 ; n = 3³.13^b ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

+ p2 = 17 => n = 3^a.17^b ; φ(n) = 2⁵.3^a-1.17^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2⁹.3^a-2.17^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2¹³.3^a-3.17^b-3 => a ≥ 5 conditions : a^b = 1 ; pgcd(5, a-1, b-1) = 1 ; pgcd(9, a-2, b-2) = 1 ; pgcd(13, a-3, b-3) = 1

a = 5 ; n = 3⁵.17^b ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non Fin

+ p2 = 19 => n = 3^a.19^b ; φ(n) = 2².3^a+1.19^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2³.3^a+2.19^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2⁴.3^a+3.19^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; pgcd(2, a+1, b-1) = 1 ; pgcd(3, a+2, b-2) = 1 ; pgcd(4, a+3, b-3) = 1

a = 2 ; n = 3².19^b ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non a = 3 ; n = 3².19^b ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

∀p2 > 19 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 4 non Fin

C13/ p1 = 5 ; n = 5^a.p2b ; b ≥ 5

+ p2 = 7 => n = 5^a.7^b ; φ(n) = 2³.3.5^a-1.7^b-1 non Fin

+ p2 = 11 => n = 5^a.11^b ; φ(n) = 2³.5^a.11^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2⁵.5^a.11^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2⁷.5^a.11^b-3 => a ≥ 2 conditions : a^b = 1 ; pgcd(3, a, b-1) = 1 ; pgcd(5, a, b-2) = 1 ; pgcd(7, a, b-3) = 1

a = 2 ; n = 5².11^b ≤ 10⁷ => b ≤ 5 ; b = 5 => b-1 = 4 => b-2 = 3 => b-3 = 2 oui => n23 = 5².11⁵ = 4 026 275 a = 3 ; n = 5³.11^b ≤ 10⁷ =>b ≤ 4 non Fin

+ p2 = 13 => n = 5^a.13^b ; φ(n) = 2⁴.3.5^a-1.13^b-1 non Fin

+ p2 = 17 => n = 5^a.17^b ; φ(n) = 2⁶.5^a-1.17^b-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2¹¹.5^a-2.17^b-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2¹⁶.5^a-3.17^b-3 => a ≥ 5 conditions : a^b = 1 ; pgcd(6, a-1, b-1) = 1 ; pgcd(11, a-2, b-2) = 1 ; pgcd(16, a-3, b-3) = 1

a = 5 ; n = 5⁵.17^b ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non Fin

∀p2 > 17 ; n ≤ 10⁷ => b ≤ 3 non Fin

C14/ p1 = 7 ; n = 7^a.p2b ; b ≥ 5

+ p2 = 11 => n = 7^a.11^b ; φ(n) = 2².3.5.7^a-1.11^b-1 non Fin + p2 = 13 => n = 7^a.13^b ; nmin = 7².13⁵ > 10⁷ non Fin

∀p2 > 13 ; non Fin

C15/ p1 = 11 ; n = 11^a.p2b ; b ≥ 5

∀p2 ≥ 13 ; n = 11^a.13^b ≤ 10⁷ => b ≤ 3 et nmin = 11².13⁵ > 10⁷ non Fin

C2/ m = 3 ; n = (p1a.p2b.p3c) ; 2 ≤ p1 < p2 < p3 ; c ≥ 5 C21/ p1 = 2 ; n = 2^a.p2b.p3c ; c ≥ 5

➔ p2 = 3 ; n = 2^a.3^b.p3c

p3 = 5 ; n = 2^a.3^b.5^c ; φ(n) = 2^a+2.3^b-1.5^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+4.3^b-2.5^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+6.3^b-3.5^c-3 => a ≥ 2 ; b, c ≥ 5 conditions : pgcd(a, b, c) = 1 ; pgcd(a+2, b-1, c-1) = 1 ; pgcd(a+4, b-2, c-2) = 1 ; pgcd(a+6, b-3, c-3) = 1 a = 2 ; b = 5 , c = 5 ; n = 2².3⁵.5⁵ < 10⁷

pgcd(2, 5, 5) = 1 ; pgcd(4, 4, 4) = 4 ≠ 1 non a = 3 ; b = 5 , c = 5 ; n = 2³.3⁵.5⁵ < 10⁷

pgcd(3, 5, 5) = 1 ; pgcd(5, 4, 4) = 1 ; pgcd(7, 3, 3) = 1 ; pgcd(9, 2, 2) = 1 oui => n24 = 2³.3⁵.5⁵ = 6 075 000 a = 4 ; b = 5 , c = 5 ; n = 2⁴.3⁵.5⁵ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 6 ; c = 5 ; n = 2².3⁶.5⁵ < 10⁷

pgcd(2, 6, 5) = 1 ; pgcd(4, 5, 4) = 1 ; pgcd(6, 4, 3) = 1 ; pgcd(8, 3, 2) = 1 oui => n25 = 2².3⁶.5⁵ = 9 112 500 a = 3 ; b = 6 ; c = 5 ; n = 2³.3⁶.5⁵ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 5 ; c = 6 ; n = 2².3⁵.5⁶ > 10⁷ non Fin

p3 = 7 ; n = 2^a.3^b.7^c ; φ(n) = 2^a+1.3^b.7^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+2.3^b.7^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+3.3^b.7^c-3 => a, b ≥ 2 ; c ≥ 5 conditions : pgcd(a, b, c) = 1 ; pgcd(a+1, b, c-1) = 1 ; pgcd(a+2, b, c-2) = 1 ; pgcd(a+3, b, c-3) = 1 a = 2 ; b = 2 ; c = 5 ; n = 2².3².7⁵ < 10⁷

pgcd(2, 2, 5) = 1 ; pgcd(3, 2, 4) = 1 ; pgcd(4, 2, 3) = 1 ; pgcd(5, 2, 2) = 1 oui => n26 = 2².3².7⁵ = 605 052 a = 3 ; b = 2 ; c = 5 ; n = 2³.3².7⁵ < 10⁷

pgcd(3, 2, 5) = 1 ; pgcd(4, 2, 4) = 2 ≠ 1 non a = 4 ; b = 2 ; c = 5 ; n = 2⁴.3².7⁵ < 10⁷

pgcd(4, 2, 5) = 1 ; pgcd(5, 2, 4) = 1 ; pgcd(6, 2, 3) = 1 ; pgcd(7, 2, 2) = 1 oui => n27 = 2⁴.3².7⁵ = 2 420 208 a = 5 ; b = 2 ; c = 5 ; n = 2⁵.3².7⁵ < 10⁷

pgcd(5, 2, 5) = 1 ; pgcd(6, 2, 4) = 2 ≠ 1 non a = 6 ; b = 2 ; c = 5 ; n = 2⁶.3².7⁵ < 10⁷

pgcd(6, 2, 5) = 1 ; pgcd(7, 2, 4) = 1 ; pgcd(8, 2, 3) = 1 ; pgcd(9, 2, 2) = 1 oui => n28 = 2⁶.3².7⁵ = 9 680 832 a = 2 ; b = 3 ; c = 5 ; n = 2².3³.7⁵ < 10⁷

pgcd(2, 3, 5) = 1 ; pgcd(3, 3, 4) = 1 ; pgcd(4, 3, 3) = 1 ; pgcd(5, 3, 2) = 1 oui => n29 = 2².3³.7⁵ = 1 815 156 a = 3 ; b = 3 ; c = 5 ; n = 2³.3³.7⁵ < 10⁷

pgcd(3, 3, 5) = 1 ; pgcd(4, 3, 4) = 1 ; pgcd(5, 3, 3) = 1 ; pgcd(6, 3, 2) = 1 oui => n30 = 2³.3³.7⁵ = 3 630 312 a = 4 ; b = 3 ; c = 5 ; n = 2⁴.3³.7⁵ < 10⁷

pgcd(4, 3, 5) = 1 ; pgcd(5, 3, 4) = 1 ; pgcd(6, 3, 3) = 3 ≠ 1 non a = 5 ; b = 3 ; c = 5 ; n = 2⁵.3³.7⁵ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 4 ; c = 5 ; n = 2².3⁴.7⁵ < 10⁷

pgcd(2, 4, 5) = 1 ; pgcd(3, 4, 4) = 1 ; pgcd(4, 4, 3) = 1 ; pgcd(5, 4, 2) = 1 oui => n31 = 2².3⁴.7⁵ = 5 445 468 a = 3 ; b = 4 ; c = 5 ; n = 2³.3⁴.7⁵ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 5 ; c = 5 ; n = 2².3⁵.7⁵ > 10⁷ non Fin a = 2 ; b = 2 ; c = 6 ; n = 2².3².7⁶ < 10⁷

pgcd(2, 2, 6) = 2 ≠ 1 non

a = 3 ; b = 2 ; c = 6 ; n = 2³.3².7⁶ < 10⁷

pgcd(3, 2, 6) = 1 ; pgcd(4, 2, 5) = 1 ; pgcd(5, 2, 4) = 1 ; pgcd(6, 2, 3) = 1 oui => n32 = 2³.3².7⁶ = 8 470 728 a = 4 ; b = 2 ; c = 6 ; n = 2⁴.3².7⁶ > 10⁷ non Fin

a = 2 ; b = 3 ; c = 6 ; n = 2².3³.7⁶ > 10⁷ non Fin a = 2 ; b = 2 ; c = 7 ; n = 2².3².7⁷ > 10⁷ non Fin

p3 = 11 ; n = 2^a.3^b.11^c ; φ(n) = 2^a+1.3^b-1.5.11^c-1 non Fin

p3 = 13 ; n = 2^a.3^b.13^c ; φ(n) = 2^a+2.3^b.13^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+4.3^b.13^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+6.3^b.13^c-3 => a, b ≥ 2 ; c ≥ 5 conditions : pgcd(a, b, c) = 1 ; pgcd(a+2, b, c-1) = 1 ; pgcd(a+4, b, c-2) = 1 ; pgcd(a+6, b, c-3) = 1

a = 2 ; b = 2 ; c = 5 ; nmin = 2².3².13⁵ > 10⁷ non Fin

∀p3 > 13 ; n > 10⁷ non Fin

➔ p2 = 5 ; n = 2^a.5^b.p3c

p3 = 7 ; n = 2^a.5^b.7^c ; φ(n) = 2^a+2.3.5^b-1.7^c-1 non Fin

p3 = 11 ; n = 2^a.5^b.11^c ; φ(n) = 2^a+2.5^b.11^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+4.5^b.11^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+6.5^b.11^c-3 => a, b ≥ 2 ; c ≥ 5 conditions : pgcd(a, b, c) = 1 ; pgcd(a+2, b, c-1) = 1 ; pgcd(a+4, b, c-2) = 1 ; pgcd(a+6, b, c-3) = 1

a = 2 ; b = 2 ; c = 5 ; nmin = 2².5².11⁵ > 10⁷ non Fin

∀p3 > 11 ; n > 10⁷ non Fin

C22/ p1 = 3 ; n = 3^a.p2b.p3c ; c ≥ 5 ➔ p2 = 5 ; n = 3^a.5^b.p3c

p3 = 7 ; n = 3^a.5^b.7^c ; φ(n) = 2^a+3.3^a.5^b-1.7^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2^a+6.3^a.5^b-2.7^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2^a+9.3^a.5^b-3.7^c-3 => a ≥ 2 ; b, c ≥ 5 conditions : pgcd(a, b, c) = 1 ; pgcd(a+3, a, b-1, c-1) = 1 ; pgcd(a+6, a, b-2, c-2) = 1 ; pgcd(a+9, a, b-3, c-3) = 1 a = 2 ; b = 5 ; c = 5 ; nmin = 3².5⁵.7⁵ > 10⁷ non Fin

∀p3 > 7 ; n > 10⁷ non Fin

C23/ p1 = 5 ; n = 5^a.p2b.p3c ; c ≥ 5

➔ p2 = 7 ; n = 5^a.7^b.p3c

p3 = 11 ; n = 5^a.7^b.11^c ; nmin = 5³.7².11⁵ > 10⁷ non et φ(n) = 2⁴.3.5^a.7^b-1.11^c-1 non Fin

p3 = 13 ; n = 5^a.7^b.13^c ; φ(n) = 2⁵.3².5^a-1.7^b-1.13^c-1 ; φ⁽²⁾(n) = 2⁹.3³.5^a-2.7^b-2.13^c-2 ; φ⁽³⁾(n) = 2¹³.3⁵.5^a-3.7^b-3.13^c-3

=> a, b, c ≥ 5 => nmin = 5⁶.7⁵.13⁵ > 10⁷ non Fin

C24/ p1 = 7 ; n = 7^a.p2b.p3c ; c ≥ 5

➔ p2 = 11 ; n = 7^a.11^b.p3c

p3 = 13 ; n = 7^a.11^b.13^c => nmin = 7³.11².13⁵ > 10⁷ non Fin

Conclusion : 32 nombres d’Achille forts n jusqu’au 3^ème degré avec n ≤ 10⁷

2² x 5⁵ = 12 500 2⁷ x 3⁵ = 31 104 2⁷ x 3⁶ = 93 312 2⁶ x 5⁵ = 200 000 2¹¹ x 3⁵ = 497 664 2⁵ x 5⁶ = 500 000 2² x 3² x 7⁵ = 605 052 2⁵ x 3⁹ = 629 856 2⁸ x 5⁵ = 800 000 2⁴ x 5⁷ = 1 250 000 2¹¹ x 3⁶ = 1 492 992 2² x 3³ x 7⁵ = 1 815 156 2¹³ x 3⁵ = 1 990 656 2⁷ x 5⁶ = 2 000 000 3⁶ x 5⁵ = 2 278 125 2⁴ x 3² x 7⁵ = 2 420 208 2³ x 5⁸ = 3 125 000 3² x 13⁵ = 3 341 637 2³ x 3³ x 7⁵ = 3 630 312 3⁵ x 5⁶ = 3 796 875 5² x 11⁵ = 4 026 275 2¹¹ x 3⁷ = 4 478 976 2⁶ x 5⁷ = 5 000 000 2² x 3⁴ x 7⁵ = 5 445 468 2² x 17⁵ = 5 679 428 2¹³ x 3⁶ = 5 971 968 2³ x 3⁵ x 5⁵ = 6 075 000 3⁷ x 5⁵ = 6 834 375 2² x 5⁹ = 7 812 500 2³ x 3² x 7⁶ = 8 470 728 2² x 3⁶ x 5⁵ = 9 112 500 2⁶ x 3² x 7⁵ = 9 680 832