Critères de D ivisibilité
Définition 1 : un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si le reste de la division euclidienne de
a par b est nul. Autrement di s'il existe un entier n tel que a=n×b. On dit aussi que a est un multiple de b.Définition 2 : Un critère de divisibilité c'est une condition à respecter, une règle, qui permet de savoir si un nombre a est divisible par un nombre b sans effectuer la division.
1) Critères connus (rappel)
Divisibilité par 2 : le dernier chiffre doit être 0, 2, 4, 6 ou 8 (un chiffre pair).
Divisibilité par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres doit être divisible par 4.
Divisibilité par 5 : le dernier chiffre doit être 0 ou 5.
Divisibilité par 10 : le dernier chiffre doit être 0.
Divisibilité par 3 : la somme des chiffres doit être divisible par 3.
Divisibilité par 9 : la somme des chiffres doit être divisible par 9.
Divisibilité par 6 : la somme des chiffres doit être divisible par 3 et le dernier chiffre doit être pair.
2) Exemples
Barrer dans le tableau ci-dessous, les nombres qui ne sont pas divisibles par le nombre indiqué.
Divisibilité par 2 par 4 par 5 par 10 par 3 par 9 par 6
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001
255, 312, 510, 864, 888, 975, 990, 1001 Application : Si, avec les dix chiffres (chaque chiffre n'est utilisé qu'une seule fois), on forme deux nombres, la somme de ces deux nombres est toujours divisible par 9. Vérifier cela sur quelques exemples puis expliquer pourquoi.
Voici six exemples. Parfois les termes le sont aussi (divisibles par 9) mais parfois ils ne le sont pas. Dans tous les cas testés, la somme est divisible par 9.
L'explication tient au fait que lorsqu'on utilise les dix chiffres (ou les 9 non nuls) la somme des chiffres est égale à 45 (le 9
èmenombre triangulaire), un multiple de 9. Si on partage ces dix chiffres en deux groupes, il se peut que dans chaque groupe la somme des chiffres ne soit pas un multiple de 9 (dans notre 1
erexemple, 1+2+0+5+4+3=15 qui n'est pas un multiple de 9), mais la somme finale l'est forcément car, on le sait déjà, la somme des chiffres est divisible par 9.
Si la somme est 1..1 341, quel chiffre manque ? la somme des chiffres visibles étant égale à 10, il manque 8 pour arriver à 18 (le plus petit multiple de 9 supérieur à 10), donc le chiffre manquant est 8. Ce problème est le n°97 du livre de Martin Gardner « Les Casse-tête mathématiques de Sam Loyd, tome 2 » publié chez Dunod en 1967. Sam Loyd (1841-1911) est un auteur américain, contemporain de H. Dudeney, qui inventa beaucoup de casse-tête et de problèmes d'échec. Il était assez facétieux pour souvent donner des problèmes impossibles (son problème sur le taquin est célèbre pour cela), ce qui fait que j'ai bien envie de chercher si cette somme est vraiment possible. Avec les règles du jeu, 181 341 peut être la somme d'une très grande quantité de couples de nombres, tels que (93250 ; 88091) car 93 250+88 091=181 341 mais celui-là ne convient pas car le chiffre 9 est répété deux fois et aussi le 0 et le 8 et il manque 4, 6 et 7. Comment trouver les nombres qui conviennent ? Ayant le réflexe d'écrire un programme informatique, je commence par cela car le tâtonnement peut s'avérer long et difficile ici. [...] Quelques minutes plus tard, les résultats commencent à s'afficher sur mon écran : il y a, non pas une mais 256 réponses possibles à cette question.
On peut obtenir 181 341 en faisant 172 405+8 936, mais il y a 255 autres solutions.
Concluons à propos de cette application du critère de divisibilité par 9 en rappelant que sa principale fonction, pendant des années, a été de fournir une méthode pour tester si une multiplication (ou un quotient) effectuée à la main était correcte. En réalité ce test, appelé « preuve par 9 », n'affirme pas que si le test est positif alors le résultat est correct, mais il affirme que si le test est négatif alors le résultat est négatif aussi. Cela veut dire quoi ? Qu'il peut y avoir une erreur quand même dans le cas d'un test positif :
Exemple :
123 456×987 654=121 931 812 224. On peut faire la preuve par 9 : 1+2+3+4+5+6=21≡3 (on écrit 21≡3 pour dire que ces nombres ont le même reste dans la division euclidienne par 9, on parle alors de racine numérique) et 9+8+7+6+5+4=39≡3, donc 123 456×987 654≡3×3=9≡0.
Le résultat a une racine numérique de 1+2+1+9+3+1+8+1+2+2+2+4=36≡0, donc le résultat est peut être correct (en fait il l'est, j'ai effectué cette opération sur ma calculatrice).
Supposons que je me trompe en effectuant cette multiplication à la main : si je trouve 121 931 813 224 à la place du bon résultat (oubliant une retenue), je vais m'en apercevoir car alors la racine numérique du résultat n'est pas la même que celle du produit. Elle est cette fois de 37≡1 ce qui ne se peut pas. Mais si je trouve 121 931 902 224 à la place du bon résultat (toujours pour une erreur de retenue), je ne vais pas m'en apercevoir avec ce test car alors la racine numérique du résultat est correcte. Disons que, 1 fois sur 9, un résultat faux pourra présenter une racine correcte ce qui permet d'éliminer facilement 8 résultats faux sur 9...
3) Nombres premiers
Définition 3 : un nombre entier est premier s'il n'est divisible que par lui-même et par 1. Le nombre 1 n'est pas premier, le premier nombre premier est 2. Pour dresser la liste des premiers nombres premiers :
1.
Entourer le premier nombre non-barré (il est premier) puis barrer tous ses multiples.2. Recommencer l'étape 1 avec le premier nombre non-barré (il est forcément premier aussi).
Appliquer cet algorithme en commençant par entourer le nombre 2 et barrer ses multiples (4, 6, 8, etc.) :
Les multiples de 2 sont barrés et mis sur fond jaune ; le 1er nombre non barré est 3
Les multiples de 3 non déjà barrés (non multiples de 2) sont barrés et mis sur fond vert ; le 1er nombre non barré est 5 Les multiples de 5 non déjà barrés (non multiples de 2 ou de 3) sont barrés et mis sur fond bleu ; le 1er nombre non barré est 7 Les multiples de 7 non déjà barrés (non multiples de 2, de 3 ou de 5) sont barrés et mis sur fond violet ; le 1er nombre non barré est 11 Les multiples de 11 non déjà barrés (non multiples de 2, de 3, de 5 ou de 7) sont barrés et mis sur fond rouge ; le 1er nombre non barré est 13 Les multiples de 13 non déjà barrés (non multiples de 2, de 3, de 5, de 7 ou de 11) ne sont pas présents sur cette liste (le 1er est 13×13=169) ; Les nombres non barrés de la liste sont tous premiers, il y en a 35.
Dresser la liste des premiers nombres premiers obtenue : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
Remarquer que pour obtenir tous les nombres premiers inférieurs à 150, il suffit de répéter l'étape 2 jusqu'aux multiples de 11. Expliquer pourquoi.
Les multiples de 13 non déjà barrés ne sont pas présents sur cette liste qui va jusqu'à 150 car le 1
erest 13×13=169. En effet, les multiples de 13 de rang inférieur sont forcément multiples des nombres premiers inférieurs à 13 et ont donc été déjà barrés : 13×12=156 est multiple de 2 (et de 3), il est coloré en jaune ; 13×11=143 est multiple de 11), il est coloré en rouge.
4) Un critère moins connu : la d ivisibilité par 7
Pour reconnaître si un nombre N est divisible par 7 on peut calculer la différence entre le nombre de dizaines (ajouter 7 si nécessaire) et le double du chiffre des unités : si cette différence est divisible par 7 alors le nombre N l'est aussi.
Exemples : 483 est divisible par 7 car 48‒2×3=42 et 42 est bien divisible par 7.
2017 n'est pas divisible par 7 car 201‒2×7=187 et 187 n'est pas divisible par 7, car 18‒2×7=4.
Imaginons que le nombre s'écrive avec 4 chiffres : N=abcd. Le critère proposé demande de calculer D=abc−2×d.
Voyons ce que cela donne sur une dizaine d'exemples :
• Pour N=98, on calcule D=9−2×8. Pour éviter les nombres négatifs, on peut ajouter 7 au nombre de dizaines.
On calcule donc D=(9+7)−2×8=16−16=0. Comme 0 est divisible par 7, 98 l'est aussi. Vérification : 98=7×14.
• Pour N=123, on calcule D=12−2×3=12−6=6. Comme 6 n'est pas divisible par 7, 123 ne l'est pas non plus.
Vérification : 123=7×17+4.
• Pour N=987, on calcule D=98−2×7=98−14=84. Comme 84 est divisible par 7 (car 84=7×12, mais aussi car 8−2×4=0 qui est divisible par 7) 987 l'est aussi. Vérification : 987=7×84.
• Pour N=1234, on calcule D=123−2×4=123−8=115. On recommence avec N=115, on calcule D=11−2×5=11−10=1. Comme 1 n'est pas divisible par 7, 115 et 1234 ne le sont pas non plus. Vérification : 1234=7×176+2.
• Pour N=5555, on calcule D=555−2×5=555−10=545. On calcule ensuite D'=54−2×5=54−10=44. Comme 44 n'est pas divisible par 7 (car 44=7×6+2), 545 et 5555 ne le sont pas non plus. Vérification : 5555=7×793+4.
• Pour N=8765, on calcule D=876−2×5=866. On calcule ensuite D'=86−2×6=74. Comme 74 n'est pas divisible par 7 (74=7×10+4), 866 et 8765 ne le sont pas non plus. Vérification : 8765=7×1252+1.
• Pour N=86415, on calcule D=8641−2×5=8631, puis D'=863−2×1=861, puis D''=86−2×1=84. Comme 84 est divisible par 7 (car 84=7×12) 861, 8631 et 86415 le sont aussi. Vérification : 96415=7×12345.
• Pour N=99999, on calcule D=9999−2×9=9981, puis D'=998−2×1=996, puis D''=99−2×6=87. Comme 87 n'est pas divisible par 7 (car 87=7×12+3) 996, 9981 et 99999 ne le sont pas non plus. Vérification : 99999=7×14285+4.
• Pour N=999999, on calcule D=99999−2×9=99981, puis D'=9998−2×1=9996, puis D''=999−2×6=987, puis D'''=98−2×7=84. Comme 84 est divisible par 7 (car 84=7×12) 987, 9996, 99981 et 999999 le sont aussi.
Vérification : 999999=7×142857 (tiens, cela rappelle le DM !).
Je m'arrête sur ce bel exemple, mais on peut en ajouter autant qu'on veut sur le même principe : cela se vérifie à chaque fois. Mais pourquoi ? Prenons un nombre à quatre chiffres N=abcd. On a D=abc−2×d.
Il faut montrer que N et D sont divisibles par 7 tous les deux, ou bien non-divisibles par 7 tous les deux.
Utilisons la distributivité sur le calcul suivant : 10×D=10×(abc−2×d)=10×abc−10×2×d=10×abc−20×d.
Ajoutons 21×d=7×(3×d), un multiple de 7, à 10×D : 10×abc−20×d+21×d=10×abc+(21−20)×d=10×abc+d=N.
Donc N est égal, à un multiple de 7 près, à 10×D. Si N est divisible par 7, alors 10×D le sera et comme 10 n'est pas divisible par 7, ce doit être N qui l'est. Si D est divisible par 7, alors 10×D aussi et N aussi.
Cette petite démonstration a été faite sur un nombre à quatre chiffres pour la rendre plus compréhensible mais on peut la refaire avec un nombre quelconque de chiffres, cela ne change pas le raisonnement.
Remarquer, dans les exemples donnés, que la suite de nombres non divisibles par 7 obtenue par cette méthode ne contient pas que des nombres ayant le même reste dans la division euclidienne par 7. Ce n'est pas le cas avec le critère de division par 9 par exemple qui donne directement le reste de la division par 9.
