Seconde Validité des propriétés, contre-exemple, réciproque, équivalence 2011-2012
1. Écriture des propriétés:
Une formulation mathématique est souvent écrite de la manière suivante :
Si <condition> alors <résultat>
lecture :
• Sous la condition énoncée , si l’on obtientobligatoirementle résultat, on dit que la propriété estVRAIE.
• Si sous la condition énoncée, un autre résultat est possible, on dit que la formulation estFAUSSE.
Dans ce cas, un exemple conduisant à un autre résultat s’appelle un . . . .
Exemple 1 :
Six= 1ety= 2 alorsx+y= 3 V F . . .
Sixy= 4alorsx=y= 2 V F
Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires alors c’est un losange V F
Si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires alors c’est un losange V F Si x+a
2 =yalorsa= x−y
2 V F
Lorsque<condition>et<résultat>sont "inversés", on parle de formulation réciproque. Écrire les réciproques des formulations du tableau et tester leur validité.
Il arrive que des formulations soient écrites différemment.
Exemple 2 :
Tous les nombres négatifs apartiennent àZ V F . . . Les rectangles sont les seuls quadrilatères à posséder quatre angles droits V F
N’importe quel carré est un losange V F
Il existe des carrés qui ne sont pas des rectangles V F L’équation5(x+ 3) = 2(5 +x) + 3(x+ 1)n’admet aucune solution V F Aucun nombre irrationnel n’est solution de2x2−1 = 5 V F 2. Équivalence:
< A >et< B >sont deux propositions mathématiques.
Lorsque les formulations " Si <A> alors <B> " et " Si <B> alors <A> " sont VRAIES, on dit que les propositions <A> et <B> sontéquivalenteset cela se note :
<A> ⇔ <B>. Exemple 3 : Dans chaque cas, peut-on écrire <A>⇔<B> ?
<A> Le lycée est fermé <B> On est le1er janvier OUI NON . . .
<A> M est le milieu de [EF] <B> ME=MF OUI NON . . .
<A> EF Gest rectangle enF <B> EF2+F G2=EG2 OUI NON . . .
<A> [AC] et [BD] ont même milieu <B> ABCD est un parallélogramme OUI NON . . .
<A> \EF G= 60˚ <B> EF Gest équilatéral OUI NON . . .
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