Ï Si une question pose problème, admettre le résultat et passer à la suivante.

(1)

M33 - L2 - Examen - Janvier 2012

B Ce sujet comporte 5 exercices indépendants.

B Documents et calculatrices autorisés.

Ï On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats dont il sera tenu compte lors de la correction. Aucun raisonnement vague ou insuffisant ne sera pris en compte. Une grande valeur sera attribuée à la rigueur des raisonnements.

Ï Si une question pose problème, admettre le résultat et passer à la suivante.

Ï Le texte est long, mais il n’est pas nécessaire de tout faire pour obtenir la note maximale. (Le barème est donné à titre indicatif et est susceptible de varier.)

Exercice 1 Recherche de zéro d’une fonction non-linéaire (6 pts)

L’objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d’une fonction f ∈ C

²

⁽ R , R ) vérifiant 1 < f

⁰

(x) < 2 sur R . On définit la suite {x

_n

}

_n∈N

de R par la récurrence suivante

x

_n+1

= g (x

_n

),

où α > 0 et x

₀

∈ R sont donnés et la fonction g : R → R est définie par g(x) = x − α f (x).

1. Montrer que lim

x→−∞

f (x) = −∞ , lim

x→+∞

f (x) = +∞ et en déduire qu’il existe un unique ` ∈ R tel que f ( ` ) = 0.

2. Montrer que si 0 < α < 1, la fonction g vérifie | g

⁰

(x) | < 1 sur R . En déduire la convergence de la suite {x

n

}

n∈N

pour tout α ∈ ]0; 1[ quel que soit x

₀

∈ R .

3. Donner l’ordre de convergence de la suite {x

_n

}

_n∈N

en fonction de α ∈ ]0; 1[.

4. Comme d’un point de vue pratique on ne peut pas choisir α =

_f0¹(`)

, on va l’approcher par α

n

=

_f0(x¹n)

et on obtient la suite {x

n

}

n∈N

définie par

x

n+1

= x

n

−α

n

f (x

n

).

Quel est le nom de cette méthode itérative ? Montrer que la suite {x

n

}

n∈N

converge quel que soit x

0

∈ R . C

ORRECTION

.

1. Puisque f est de classe C ² ⁽ R , R ) et f ⁰ (x) > 0 sur R alors f est monotone croissante. De plus, f ⁰ (x) > 1 sur R donc

x→−∞ lim f (x) = −∞ lim

x→+∞ f (x) = +∞ .

NB : seul la condition f ⁰ (x) > 1 permet de conclure car une fonction peut être monotone croissante mais avoir une limite finie ! En effet, la condition f ⁰ (x) > 1 garantie que la fonction croit plus vite qu’une droite comme on peut facilement vérifier :

x lim →±∞

f (x) x

[H] = lim

x →±∞

f ⁰ (x) 1 ≥ 1.

Puisque lim

x →−∞ f (x ) = −∞ < 0 et lim

x →+∞ f (x) = +∞ > 0, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un `

∈ R tel que f ( ` ) = 0. Puisque f ⁰ (x) > 0 pour tout x ∈ R , ce ` est unique.

2. g est de classe C ² ⁽ R , R ). Puisque 1 < f ⁰ (x) < 2 et 0 < α < 1 on a

− 1 < 1 − 2 α < g ⁰ (x) = 1 − α f ⁰ (x) < 1 − α < 1 Autrement dit

| g ⁰ (x) | < 1 sur R . On étudie alors la suite

x n + 1 = g (x n )

et on va vérifier qu’il s’agit d’une méthode de point fixe pour le calcul du zéro ` de f .

2.1. On vérifie d’abord que, si la suite converge vers un point fixe de g , ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi) : soit ` ∈ R , alors

` = g( ` ) ⇐⇒ ` = ` − α f ( ` ) ⇐⇒ 0 = α f ( ` ) ⇐⇒

^α6=0

f ( ` ) = 0;

2.2. vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu’on a vu au point précédant,

elle converge vers l’unique zéro de f ) : g ∈ C ¹ ⁽ R , R ) et pour tout x dans R on a prouvé que | g ⁰ (x) | < 1, i.e. g est

contractante, alors la suite x _n+1 = g (x _n ) converge vers ` point fixe de g et zéro de f .

(2)

3. Étant donné que

g ⁰ ( ` ) = 1 − α f ⁰ ( ` ) avec 0 < f ⁰ ( ` ) < 2 et 0 < α < 1, on peut conclure que

?

la méthode de point fixe converge à l’ordre 2 si α = _f

0

¹ (

`

) ,

?

la méthode de point fixe converge à l’ordre 1 si α 6= _f

0

¹ (

`

) .

4. D’un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = _f

0

¹ (

`

) car on ne connaît pas ` . Si on choisit d’approcher α = _f

0

¹ (

`

) par α n = _f

0

(x ¹

_n

) et on considère la suite {x n } n ∈N définie par

x _n+1 = x _n − α n f (x _n ), on obtient la méthode de N EWTON (qui est d’ordre 2).

De plus, comme 1 < f ⁰ (x) < 2 alors 0 < α n < 1 donc la suite {x _n } _n∈N converge quel que soit x ₀ ∈ R .

Exercice 2 Interpolation et quadratures (5 pts)

Soit f une fonction C

^∞

⁽ R , R ). On se donne les points {x

_i

}

ⁱ_i⁼ⁿ₌₀

de subdivision uniforme de l’intervalle [a;b] définis par x

_i

= a + i h avec h =

^b⁻_n^a

. Le but de l’exercice est de trouver une formule de quadrature composite pour approcher l’intégrale

Z

b a

f (x) dx.

1. Soit p le polynôme de Lagrange qui interpole f aux points − 1 et 1. Écrire le polynôme p, en déduire une formule de quadrature basée sur l’approximation

Z

₁

−1

f (x) dx ≈ Z

₁

−1

p (x) dx et étudier le degré d’exactitude de cette formule de quadrature.

2. À l’aide d’un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l’intégrale Z

x_i+1

xi

f (x) dx.

3. En utilisant le résultat au point précédent, proposer une formule de quadrature composite pour le calcul approché de l’intégrale

Z

b a

f (x) dx.

Quelle méthode de quadrature reconnait-on ? C

ORRECTION

.

1. On a deux points, donc le polynôme interpolateur de Lagrange est un polynôme de R 1 [x]. On cherche alors les coefficients α et β du polynôme p(x) = α+ β x tels que

½ f ( − 1) = p( − 1) = α −β , (1a)

f (1) = p(1) = α + β . (1b)

La somme des équations (1b) + (1a) donne α = ^f ^(1)+f ₂ ⁽⁻¹⁾ et la soustraction des équations (1b) − (1a) donne β = ^f ^(1)−f ₂ ⁽⁻¹⁾ . On en déduit la méthode de quadrature

Z 1

−1

f (t) dt ≈ Z 1

−1

p(t) dt = Z 1

−1 α+ β t dt = 2 α = f ( − 1) + f (1).

Par construction, cette formule de quadrature a degré d’exactitude au moins 1. Soit f (x) = x ² , alors R 1

−1 f (x) dx = 2/3 tandis que f ( − 1) + f (1) = 2 : la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 1.

2. Soit x = mt + q, alors

Z x

_i+1

x

_i

f (x) dx = m Z 1

− 1

f (mt + q) dt avec

( x _i = − m + q, x _i+1 = m + q,

d’où le changement de variable x = x i + (t + 1) ^x

ⁱ⁺¹

₂ ^−x

ⁱ

. On déduit la formule de quadrature (exacte sur l’espace des poly- nôme de degré au plus 1)

Z x

i+1

x

_i

f (x) dx = x _i+1 − x _i 2

Z 1

−1

f ³

x _i + (t + 1) x _i+1 − x _i 2

´

dt ≈ x _i ₊₁ − x _i 2

£ f (x _i ) + f (x _i+1 ) ¤

.

(3)

3. On subdivise l’intervalle [a; b] en n intervalles [x _i ; x _i ₊₁ ] de largeur h = ^b−a _n = ^x

ⁱ⁺¹

₂ ⁻ ^x

ⁱ

pour i = 0, . . . , n . On trouve ainsi la formule de quadrature composite

Z b a

f (x ) dx =

n−1 X

i =0

Z x

_i+1

x

i

f (x) dx ≈

n−1 X

i =0

x _i ₊₁ − x _i 2

£ f (x _i ) + f (x _i ₊ ₁ ) ¤

= h 2

n−1 X

i =0

£ f (x _i ) + f (x _i ₊ ₁ ) ¤

= h 2

"

f (a) + f (b) + 2

n − 1

X

i=1

f (x _i )

#

= h 2

"

f (a) + f (b) + 2

n − 1

X

i =1

f (a + i h)

# . Il s’agit de la méthode des trapèzes composite.

Exercice 3 EDO (4.5 pts)

Soit β > 0 un nombre réel positif et considérons le problème de C

AUCHY

( y

⁰

(t) = −β y (t), pour t > 0,

y (0) = y

₀

, (2)

où y

₀

est une valeur donnée. Soit h > 0 un pas de temps donné, t

_i

= i h pour i ∈ N et y

_i

une approximation de y(t

_i

). Écrire le schéma du trapèze (appelé aussi de C

RANCK

-N

ICHOLSON

) permettant de calculer y

_i₊₁

à partir de y

_i

. Sous quelle condition sur h le schéma du trapèze est-il A-stable ? Autrement dit, pour quelles valeurs de h la relation lim

i→+∞

y

_i

= 0 a-t-elle lieu ?

C

ORRECTION

. Le problème (2) est un problème du type trouver y : I ⊂ R ⁺ → R tel que

( y ⁰ (t) = f (t, y(t)), ∀ t ∈ I, y (t ₀ ) = y ₀ .

Le principe des méthodes d’approximation est de subdiviser l’intervalle I en sous-intervalles de longueur h et, pour chaque nœud t _i = t ₀ + i h (i ∈ N ), on cherche la valeur inconnue y _i qui approche y (t _i ). L’ensemble de valeurs ©

y ₀ , y ₁ , . . . ª

représente la solution numérique. Les schémas numériques permettent de calculer y _i ₊ ₁ à partir de y _i et il est donc possible de calculer successivement y ₁ , y ₂ ,. . . en partant de y ₀ .

1. Si nous intégrons l’EDO y ⁰ (t ) = f (t, y(t )) entre t i et t i + 1 nous obtenons y (t i + 1 ) − y (t i ) =

Z t

_i+1

t

_i

f (t, y(t)) dt.

Soit y _i une approximation de y (t _i ) et y _i ₊₁ une approximation de y(t _i+1 ). Si on utilise la formule du trapèze, i.e.

Z t

_i+1

t

i

f (t ,y (t)) dt ≈ h 2

¡ f (t _i , y (t _i )) + f (t _i ₊₁ ,y (t _i ₊₁ )) ¢ on obtient le schéma du trapèze ou de C RANCK -N ICHOLSON

( y 0 = y (t 0 ),

y _i ₊₁ − ^h ₂ f (t _i+1 , y _i ₊₁ ) = y _i + ^h ₂ f (t _i , y _i ), pour i = 0, 1, 2, . . .

Il s’agit d’un schéma implicite car il ne permet pas d’écrire directement y _i ₊₁ en fonction de y _i lorsque la fonction f n’est pas triviale. En appliquant le schéma du trapèze au problème (2) on obtient la suite définie par récurrence suivante

( y ₀ = y (t ₀ ),

³ 1 + ^h ₂ β ´

y i + 1 = ³ 1 − ^h ₂ β ´

y i . Par induction on obtient

y _i = µ 2 −β h

2 +β h

¶ i

y ₀ . Par conséquent, lim

i →+∞ y _i = 0 si et seulement si

¯

¯ 2 −β h 2 +β h

¯

¯ < 1.

Notons x le produit β h > 0 et q la fonction q(x) = ^2−x _2+x = 1 − 2 _2+x ^x . Nous avons 0 < _2+x ^x < 1 pour tout x ∈ R ^∗ ₊ , donc | q(x) | < 1 pour tout x ∈ R ^∗ ₊ . La relation lim

i→+∞ y _i = 0 est donc satisfaite pour tout h > 0.

(4)

2. Pour éviter le calcul implicite de y _i+1 dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser une prédiction d’E ULER progressive et remplacer le y _i+1 dans le terme f (t _i ₊₁ , y _i+1 ) par ˜ y _i ₊₁ = y _i + h f (t _i , y _i ). Nous avons construit ainsi le schéma de H EUN . Plus précisément, cette méthode s’écrit

( y ₀ = y (t ₀ ), y i +1 = y i + ^h ₂ ¡

f (t i , y i ) + f ¡

t i +1 , y i + h f (t i , y i ¢¢

, pour i = 0, 1, 2, . . . En appliquant le schéma de H EUN au problème (2) on obtient la suite définie par récurrence suivante

( y ₀ = y (t ₀ ), y _i ₊₁ = ³

1 − β h + ⁽

^β

^h) ₂

²

´ y _i . Par induction on obtient

y _i = µ

1 − β h + ( β h) ² 2

¶ ⁱ y ₀ . Par conséquent, lim

i→+∞ y i = 0 si et seulement si

¯

1 − β h + β ² (h ) ² 2

¯

¯ < 1.

Notons x le produit β h et q le polynôme q(x) = ¹ ₂ x ² − x + 1 dont le graphe est représenté en figure.

x = β h q

0 2

1 Nous avons | q(x) | < 1 si et seulement si 0 < x < 2. La relation lim

i →+∞ y _i = 0 est donc satisfaite si et seulement si h < 2

β .

Exercice 4 Courbe de meilleure approximation (4 pts) On considère un ensemble de points expérimentaux ©

(x

_i

, y

_i

) ª

n

i=0

et on suppose que les deux grandeurs x et y sont liées, au moins approximativement, par une relation de la forme y = a sin(

^π₂

x) + b cos(

^π₂

x). On souhaite alors trouver les constantes a et b pour que la courbe d’équation y = a sin(

^π₂

x) + b cos(

^π₂

x ) s’ajuste le mieux possible aux points observés (on parle de courbe de meilleure approximation).

Soit d

_i

= y

_i

− (a sin(

^π₂

x

_i

) + bcos(

^π₂

x

_i

)) l’écart vertical du point (x

_i

, y

_i

) par rapport à la courbe. La méthode de régression (ou des moindres carrés) est celle qui choisit a et b de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale. Pour cela, on doit minimiser la fonction E définie par

E : R

²

→ R

+

(a,b) 7→ E (a,b) =

n

X

i=0

d

_i²

.

Écrire le système linéaire qui permet de calculer a et b.

C

ORRECTION

. Pour minimiser E on cherche ses points stationnaires. Puisque

∂E

∂ a (a,b) = − 2 Ã n

X

i =0

¡ y _i − ¡ a sin ¡

_π

2 x _i ¢

+ b cos ¡

_π

2 x _i ¢¢¢

sin ¡

_π

2 x _i ¢

! ,

∂E

∂ b (a,b) = − 2 Ã n

X

i=0

¡ y i − ¡ a sin ¡

_π

2 x i ¢

+ b cos ¡

_π

2 x i ¢¢¢

cos ¡

_π

2 x i ¢

!

,

(5)

on obtient (

_∂E

∂

a (a,b) = 0

∂E∂

b (a,b) = 0 ⇐⇒

( P n i =0

¡ y _i − ¡ a sin ¡

_π

2 x _i ¢

+ bcos ¡

_π

2 x _i ¢¢¢

sin(

^π

₂ x _i ) = 0 P n

i = 0

¡ y i − ¡ a sin ¡

_π

2 x i ¢

+ bcos ¡

_π

2 x i ¢¢¢

cos(

^π

₂ x i ) = 0

⇐⇒

( P n i=0

¡¡ a sin ¡

_π

2 x _i ¢

+ b cos ¡

_π

2 x _i ¢¢¢

sin(

^π

₂ x _i ) = P n

i=0 y _i sin(

^π

₂ x _i ) P n

i = 0

¡¡ a sin ¡

_π

2 x i ¢

+ b cos ¡

_π

2 x i ¢¢¢

cos(

^π

₂ x i ) = P n

i = 0 y i cos(

^π

₂ x i )

⇐⇒

· P n

i = 0 sin ² ¡

_π

2 x i ¢ P n i = 0 sin ¡

_π

2 x i ¢ cos ¡

_π

2 x i ¢ P n

i = 0 sin ¡

_π

2 x _i ¢ cos ¡

_π

2 x _i ¢ P n

i = 0 cos ² ¡

_π

2 x _i ¢

¸ · a b

¸

=

· P n

i = 0 y i sin ¡

_π

2 x i ¢ P n

i = 0 y _i cos ¡

_π

2 x _i ¢

¸ . Si on note

U =

n

X

i =0

sin ² ¡

_π

2 x _i ¢

, V =

n

X

i =0

sin ¡

_π

2 x _i ¢ cos ¡

_π

2 x _i ¢

, W =

n

X

i =0

cos ² ¡

_π

2 x _i ¢

, P =

n

X

i =0

y _i sin ¡

_π

2 x _i ¢

, Q =

n

X

i =0

y _i cos ¡

_π

2 x _i ¢ , on doit résoudre le système linéaire

µ U V

V W

¶ µ a b

¶

= µ P

Q

¶

dont la solution est

a = W P − V Q

UW − V ² , b = UQ − V P

UW − V ² .

Exercice 5 Systèmes linéaires (6 pts)

On considère la matrice tridiagonale inversible A ∈ R

ⁿ^×ⁿ

A =







a

₁

c

₁

0 . . . . . . 0 b

₂

a

₂

c

₂

. . . .. . 0 b

₃

a

₃

. . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . 0 .. . . . . b

_n−1

a

_n−1

c

_n−1

0 . . . . . . 0 b

_n

a

_n







1. Montrer que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, i.e. si a

_{i j}

= 0 pour | i − j | > 1 alors `

i j

= 0 pour i > 1 + j (et pour i < j car triangulaire inférieure) et u

_{i j}

= 0 pour i < j − 1 (et pour i > j car triangulaire supérieure).

Soit A

^(k)

, k = 0, . . . , n − 1 la matrice obtenue à l’étape k de la méthode de G

AUSS

, avec A

⁽⁰⁾

= A et A

⁽ⁿ⁻¹⁾

= U . On montrera par récurrence sur k que A

^(k)

est tridiagonale pour tout k = 0, . . . , n − 1, i.e. a

^(k)_{i j}

= 0 pour | i − j | > 1.

Initialisation : pour k = 0, A

⁽⁰⁾

= A est une matrice tridiagonale.

Hérédité : soit A

^(k)

une matrice tridiagonale (i.e. a

^(k)_{i j}

= 0 pour | i − j | > 1) et montrons que A

^(k+1)

l’est aussi.

?

Si i ≤ k , que valent-ils les coefficients a

^(k_{i j}⁺¹⁾

?

Si i > k alors on va considérer séparément les cas suivants :

?

si j ≤ k , que valent-ils les coefficients a

^(k_{i j}⁺¹⁾

?

si j > k et j < i − 1, que valent-ils les coefficients a

_{i k}^(k)

et `

^(k)_{i k}

? Que peut-on déduire sur les coefficients a

^(k+1)_{i j}

?

si j > k et j > i + 1, que valent-ils les coefficients a

_{k j}^(k)

et `

^(k)_{i k}

? Que peut-on déduire sur les coefficients a

^(k+1)_{i j}

? NB : Justifier succinctement chaque réponse !

2. On a montré au point précédent que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, écrivons-les sous la forme

L =







1 0 . . . . . . . . . 0 β

2

1 . . . .. .

0 β

3

1 . . . .. .

.. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . β

n−1

1 0 0 . . . . . . 0 β

n

1 





, U =







α

1

γ

1

0 . . . . . . 0 0 α

2

γ

2

. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . 0 .. . . . . α

n−1

γ

n−1

0 . . . . . . . . . 0 α

n







.

(6)

Calculer ( α

1

, α

2

, . . . , α

n

), ( β

2

, β

3

, . . . , β

n

) et ( γ

1

, γ

2

, . . . , γ

n−1

) en fonction de (a

₁

,a

₂

, . . . , a

_n

), (b

₂

,b

₃

, . . . ,b

_n

) et (c

₁

,c

₂

, . . . , c

_n−1

). En déduire un algorithme de factorisation.

3. À l’aide des formules trouvées au point précédent, écrire l’algorithme pour résoudre le système linéaire A x = f où f = (f

₁

, f

₂

, . . . , f

_n

)

^T

∈ R

ⁿ

.

C

ORRECTION

.

1. Soit A ^(k) , k = 0, . . . , n − 1 la matrice obtenue à l’étape k de la méthode de G AUSS , avec A ⁽⁰⁾ = A et A ⁽ⁿ⁻¹⁾ = U . On montrera par récurrence sur k que A ^(k) est tridiagonale, i.e. a _{i j} ^(k) = 0 pour | i − j | > 1.

Initialisation : pour k = 0, A ⁽⁰⁾ = A qui est une matrice tridiagonale.

Hérédité : soit A ^(k) une matrice tridiagonale (i.e. a _{i j} ^(k) = 0 pour | i − j | > 1) et montrons que A ^(k+1) l’est aussi.

?

Si i ≤ k alors a ^(k _{i j} ⁺ ¹⁾ = a ^(k) _{i j} = 0 (les lignes L ₁ , . . . ,L _k de la matrice A ^(k) ne sont pas modifiées à l’étape k).

?

Soit i > k, alors les lignes L _k ₊ ₁ , . . . , L _n de la matrice A ^(k) vont être modifiées selon la relation)

a ^(k+1) _{i j} = a ^(k) _{i j} − a ^(k)

i k

a ^(k) _kk a ^(k) _{k j} .

Pour chaque ligne i > k , considérons séparément les colonnes j ≤ k et les colonnes j > k :

?

si j ≤ k, a _{i j} ^(k+1) = 0 (zéros qu’on fait apparaitre avec la méthode de G AUSS pour une matrice quelconque),

?

soit j > k :

?

si j < i − 1, comme i , j > k alors a _{i j} ^(k) = 0 et i > j + 1 > k + 1, c’est-à-dire i − k > 1 et donc a ^(k) _{i k} = 0 et ` ^(k) _{i k} = 0.

Donc a ^(k _{i j} ⁺ ¹⁾ = 0.

?

si j > i + 1, comme i , j > k alors a ^(k) _{i j} = 0 et j > i + 1 > k + 1, c’est-à-dire j − k > 1 et donc a ^(k)

k j = 0. Donc a ^(k _{i j} ⁺¹⁾ = 0.

2. Les coefficients ( α 1 , α 2 , . . . , α n ), ( β 2 , β 3 , . . . , β n ) et ( γ 1 , γ 2 , . . . , γ n−1 ) se calculent en imposant l’égalité LU = A . L’algorithme se déduit en parcourant les étapes de la méthode de G AUSS :

A ⁽⁰⁾ =







a ₁ c ₁ 0 . . . . . . 0 b ₂ a ₂ c ₂ . . . .. . 0 b ₃ a ₃ . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . 0 .. . . . . b _n−1 a _n ₋₁ c _n−1 0 . . . . . . 0 b _n a _n







L

2

←L

2

−β

2

L

1

−−−−−−−−−→

β2

=

^b_a²₁

A ⁽¹⁾ =







α 1 = a ₁ γ 1 = c ₁ 0 . . . . . . 0

0 α 2 = a ₂ − β 2 c ₁ γ 2 = c ₂ . . . .. .

0 b ₃ a ₃ . . . . . . .. .

.. . . . . . . . . . . . . . 0

.. . . . . b _n−1 a _n−1 c _n−1

0 . . . . . . 0 b _n a _n







L

₃

← L

₃

−β

3

L

₂

−−−−−−−−−→

β3

=

_α2^b³

A ⁽²⁾ =







α 1 = a ₁ γ 1 = c ₁ 0 . . . . . . 0

0 α 2 = a ₂ − β 2 c ₁ γ 2 = c ₂ . . . .. . 0 0 α 3 = a ₃ − β 3 c ₂ . . . . . . .. .

.. . . . . . . . . . . . . . 0

.. . . . . b n − 1 a n − 1 c n − 1

0 . . . . . . 0 b n a n







L

₄

← L

₄

−β

4

L

₃

−−−−−−−−−→

β4

=

_α3^b⁴

[ · · · ]

[ · · · ] −−−−−−−−−−−→ ^L

ⁿ

^←L

ⁿ

^−β

ⁿ

^L

ⁿ⁻¹

βn

=

_αn^bn

A ⁽ⁿ ⁻¹⁾ =







α 1 = a ₁ γ 1 = c ₁ 0 . . . . . . 0

0 α 2 = a ₂ − β 2 c ₁ γ 2 = c ₂ . . . .. .

0 0 α 3 = a ₃ − β 3 c ₂ . . . . . . .. .

.. . . . . . . . . . . . . . 0

.. . . . . 0 α n−1 = a _n−1 − β n−1 c _n−2 γ n−1 = c _n−1

0 . . . . . . 0 0 α n = a _n − β n c _n−1







Donc γ i = c _i pour i = 1, . . . , n, α 1 = a ₁ et on définie par récurrence ( β i =

_α

^b

_i−1ⁱ

α i = a i − β i c i − 1

pour i = 2, . . . ,n .

(7)

3. La résolution du système linéaire A x = f se ramène à la résolution des deux systèmes linéaires L y = f et U x = y, pour lesquels on obtient les formules suivantes :

Ï Si une question pose problème, admettre le résultat et passer à la suivante.

M33 - L2 - Examen - Janvier 2012

B Ce sujet comporte 5 exercices indépendants.

B Documents et calculatrices autorisés.

Ï On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats dont il sera tenu compte lors de la correction. Aucun raisonnement vague ou insuffisant ne sera pris en compte. Une grande valeur sera attribuée à la rigueur des raisonnements.