A382. Achille est fort Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n. Un nombre d’Achille

(1)

A382. Achille est fort

Un nombre entier n est dit « puissant » si pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n.

Un nombre d’Achille ⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite.

Par exemple n = 72 = 2³.3² est un nombre d’Achille mais n = 216 = 2³.3³ ne l’est pas car 216 = 6³.

φ(n) étant la fonction indicatrice d'Euler de n, c’est à dire le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n et premiers avec n, un nombre d’Achille n est dit « fort » jusqu’au degré k si les entiers successifs φ(n), φ(2)(n)=φ(φ(n)),… …,φ(k)(n)=φ(φ(...φ(φ(n))...)) sont tous des nombres d’Achille.

Q1 Recenser les nombres d’Achille ≤ 2019.

Q2 Déterminer les nombres d’Achille forts au premier degré qui sont inférieurs ou égaux à 2019.

Q3 Déterminer les nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré qui sont inférieurs ou égaux à 10⁷.

(1)Nota : Nom donné par Henry Bottomley. Comme le héros mythologique Achille, ces nombres sont puissants, mais pas parfaits.

Solution proposée par François Tisserand Considérations préliminaires :

Un nombre entier positif N se décompose comme le produit de ses facteurs premiers pi, élevé à la puissance j.

(1) N=πi pij

Un nombre est puissant si « pour chaque facteur premier p de cet entier, p² est aussi un diviseur de n », ce qui implique que chacune des exposants de sa décomposition soit ‘au moins’ un carré, donc les nombres ’j’ soient supérieurs ou égaux à 2.

(2) J≥2

Un nombre d’Achille ⁽¹⁾ est un entier puissant sans être une puissance parfaite. Donc il faut que toutes les exposants ‘j’ de (1) ne soient pas identiques ou multiples , car alors on a un carré parfait. Donc

(3) ∃ j’≠j

(4) De plus, il faut que le nombre N comporte au moins 2 facteurs premiers dans sa décomposition car sinon on a une puissance parfaite=> Nb pi≥2.

(5) Le plus grand facteur premier d’un nombre d’Achille est un nombre impair. Ceci résulte du fait qu’un nombre d’Achille a au moins 2 facteurs premiers, et que seul le chiffre 2 est un nombre premier pair)

(6) Si on combine (2) et (3) alors ‘au moins un’ exposant ‘j’ est égal ou supérieur à 3 =>∃

j≥3

Recherche des nombres d’Achille ≤ 2019

Recherches des nombres à 4 facteurs : i=1 à 4.

Le plus petit des ces nombres est N=2³*3²*5²*7²=88200 > 2019.

Il n’y a pas de nombre d’Achille à 4 facteurs inférieur à 2019.

Recherches des nombres à 3 facteurs : i=1 à 3

Si le facteur ‘2’ n’est pas présent dans la décomposition, alors le plus petit nombre possible est : N=3³*5²*7²=33075 > 2019. Donc il y a au moins le facteur ‘2’ dans la décomposition à 3 facteurs.

Posons N=2³*p²*q²≤ 2019 avec 2<p<p alors =>p*q ≤ √(2019/8)≈15,88 ce qui conduit à la seule possibilité p=3 et q=5 soit le nombre N=2³*3²*5²=1800

Les nombres de la forme 2⁴*p²*q² sont des carrés parfaits et ceux de la forme 2⁵*p²*q² sont tous supérieurs à 2019 ainsi que ceux d’un exposant supérieur à 5 pour le facteur ‘2’.

Posons N=2²*p³*q² ≤ 2019 avec 2<p<p. prenons le plus petit nombre p=3, alors q ≤

√(2019/(4*27))≈4,3, ce qui est incompatible avec le plus petit q possible qui est q=5. (en fait le plus petit nombre de la forme N=2²*p³*q²=4*27*25=2700 >2019

(2)

Le seul nombre d’Achille à 3 facteurs inférieur à 2019 est 1800.

Recherches des nombres à 2 facteurs : i=1 ,2

On recherche les nombre de la forme N=p^a*q^b avec p<q et a≥2, b≥2 et ‘a’ non multiple de ‘b’ (sinon on a une puissance parfaite.

Recherche du plus grand q lorsque p prend les valeurs successives des nombres premiers.

Si p=2 et a= 3 alors q<√(2019/8)≈15,88. Les valeurs possibles de q sont {3,5,7,11,13}

Si p=3 et a= 3 alors q<√(2019/27)≈ 8,6. Les valeurs possibles de q sont {5,7}

Si p=5 et a= 3 alors q<√(2019/125)≈ 4,0, incompatible avec q>p=5.

Les 2 seules valeurs possibles de p sont 2 et 3.

Analyse des possibilités avec p=2

Cas a=3 et b=2 les valeurs de q sont {3,5,7,11,13}et les nombres d’Achille respectifs sont {72,200,392,968,1352} (le cas a=3 et b=3 est une puissance parfaite)

Cas a=3 et b=4 on a q<⁴√(2019/8)≈3,98, donc pour seule possibilité q=3 conduisant au nombre d’Achille{648}

Cas a=3 et b=5 on a q<⁵√(2019/8)≈3,02, donc pour seule possibilité q=3 conduisant au nombre d’Achille{1944} (le cas a=3 et b=6 est une puissance parfaite, et les valeurs pour b>6 sont >2019)

Cas a=4 et donc b=3 on a q<³√(2019/16)≈5,01 donc 2 possibilités pour q {3,5} conduisant aux nombres d’Achille respectifs {432, 2000} (le cas a=4 et b=4 est une puissance parfaite)

Cas a=4 et donc b=5 on a q<⁵√(2019/16)≈2.6 pas compatible avec 2=p<q (pour rappel : le cas a=4 et b=2 est une puissance parfaite). les valeurs pour b>5 sont >2019

Cas a=5 et b=2 on a q<√(2019/32)≈7,94 donc 3 possibilités pour q {3,5,7} conduisant aux nombres d’Achille respectifs {288,800,1568}

Cas a=5 et b=3 on a q<³√(2019/32)≈3.98 donc 1 possibilité pour q {3 } conduisant au nombre d’Achille suivant {864}

Cas a=5 et b=4 on a q<⁴√(2019/32)≈2.8 pas compatible avec 2=p<q (avec q=3 on obtient2592>2019) ; les valeurs pour b>4 sont >2019

Pour le cas a=6, alors b ne peut prendre les valeurs 2, 3 et 4. La première possibilité étant b=5 conduisant à une valeurs supérieure à 2019 (cf ci-dessus : cas a=5 et b<4 pour rester inférieur à 2019)

Cas a=7 et b=2 on a q<√(2019/128)≈3.97 donc 1 possibilité pour q=3 conduisant au nombre d’Achille suivant {1152}

Cas a=7 et b=3 on a q<³√(2019/128)≈2.51 pas compatible avec 2=p<q les autres valeurs de b>3 donnent des nombres supérieurs à 2019.

Le cas a=8 et b=2 est un carré parfait. Le cas a=8 et b=3 n’est pas compatible 2=p<q (conduisant à un nombre supérieur au cas a=7 et b=3 ci-dessus)

Cas a=9 et b=2 a q<√(2019/512)≈1.98 n’est pas compatible 2=p<q

Cas a=2 et b=3 on a q<³√(2019/4)≈7,96 donc 3 possibilités pour q {3,5,7} conduisant aux nombres d’Achille respectifs {108, 500, 1372} (le cas a=2 et b=4 est une puissance parfaite)

Cas a=2 et b=5 on a q<⁵√(2019/4)≈3.47 donc 1 possibilité pour q {3 } conduisant au nombre d’Achille suivant {972}(le cas a=2 et b=6 est une puissance parfaite)

Cas a=2 et b=7 on a q<⁷√(2019/4)≈2.43 pas compatible avec 2=p<q Analyse des possibilités avec p=3

(3)

Cas a= 3 et b=2 alors q<√(2019/27)≈ 8,6. Les valeurs possibles de q sont {5,7} conduisant aux nombres d’Achille respectifs {675,1323}.(le cas a=3 et b=3 est une puissance parfaite)

Cas a= 3 et b=4 alors q<⁴√(2019/27)≈2.94 pas compatible avec 3=p<q. les valeurs pour b≥4 sont

>2019

Cas a=4 et b=2 est une puissance parfaite.

Cas a=4 et b=3 donne q<³√(2019/81)≈2.92 pas compatible avec 3=p<q. les valeurs pour b≥3 sont

>2019

Cas a=5 et b=2, on a q<√(2019/243)≈ 2.88, pas compatible avec 3=p<q. les valeurs pour b≥2 sont

>2019

Cas a=2 et b=3 alors q<³√(2019/9)≈6.07 donc 1 possibilité pour q {5 } conduisant au nombre d’Achille suivant {1125}.(le cas a=2 et b=4 est une puissance parfaite)

Cas a=2 et b=5 alors q<⁵√(2019/9)≈2.95 pas compatible avec 3=p<q. les valeurs pour b≥5 sont >2019.

Synthèse des nombres d’Achille <2019 : on identifie 22 nombres qui sont :

{1800, 72, 200, 392, 968, 1352, 648, 1944, 432, 2000, 288, 800,1568, 864, 1152, 108, 500, 1372, 972, 675, 1323, 1125}

Qui donne en valeurs croissantes :

{72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323,1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000}.

Le tableau suivant indique pour chaque nombre d’Achille sa décomposition en puissances de facteurs premiers.

2^3*3² 2^2*3³ 2^3*5² 2^5*3² 2^3*7² 2^4*3³ 2^2*5³ 2^3*3⁴ 3^3*5² 2^5*5² 2^5*3³

72 108 200 288 392 432 500 648 675 800 864

2^3*11² 2^2*3⁵ 3^2*5³ 2^7*3² 3^3*7² 2^3*13² 2^2*7³ 2^5*7² 2³*3²*5² 2^3*3⁵ 2^4*5³

968 972 1125 1152 1323 1352 1372 1568 1800 1944 2000

Recherche des nombres d’Achille forts au premier degré ≤ à 2019

Pour rappel, si on nombre N se décompose en puissance de ses facteurs premiers, N=Πi piaj

,la valeur de l’indicatrice d’Euler φ (N)=N* Πi (1-1/pi) soit φ (N)= Πi piaj-1

*(pi-1).

Cas des nombres d’Achille avec le plus petit facteur p=3. (soit de type 3^a*q^b avec q≥5)

Dans ce cas, φ (N)= 3â*q^b*(1-1/3)*(1-1/q)= 3â-1*q^b-1*2*(q-1). Comme les 3 possibilités impliquent que soit a=2 ou b=2 alors 3â-1*q^b-1 va comprendre au moins une puissance simple, donc non divisible par le carré de ce facteur. Donc φ (N)= ne peut pas être un nombre d’Achille dans le cas p=3.

Les nombres d’Achille forts au premier degré (et <2019) comportent comme plus petit facteur premier p=2.

Cas des nombres d’Achille avec le plus petit facteur p=2 à 2 facteurs. (soit de type 2^a*q^b avec q≥3).

Dans ce cas, φ (N)= 2^a*q^b*(1-1/2)*(1-1/q)= 2^a-1*q^b-1*(q-1) . Ce nombre est un nombre d’Achille si : q-1 est une puissance de 2 [q=2^α+1, soit les chiffres 3 et 5 dans le cas <2019] ET [b-1]≥2 donc b≥3.

De plus, pour éviter d’avoir un carré parfait, il faut que [a+α-1] ne soit pas un multiple de [b-1].

A partir du tableau de la question précédente, les nombres d’Achille à 2 facteurs (avec p=2) fort au premier degré sont : 500, 864, 1944 et 2000 correspondant aux valeurs respectives de l’indicatrice d’Euler suivantes : 200, 288, 648 et 800.

Cas du nombre d’Achille avec le plus petit facteur p=2 à 3 facteurs. Ce nombre s’écrit N=1800=2³*3²*5² etla valeur de son indicatrice d’Euler est : φ (1800)= 2²*3*5*2*4=2⁵*3*5=480 qui n’est pas un nombre d’Achille. Donc 1800 n’est pas fort au premier degré.

(4)

Les seuls nombres d’Achille forts au premier degré sont : {500, 864, 1944 et 2000}

Recherche des nombres d’Achille forts jusqu’au troisième degré ≤ à 10

⁷

Repartons de la formule de calcul de l’indicatrice d’Euler : φ (N)= Πi p_i^aj-1 *(p_i-1).

Soit q le plus grand facteur premier de N et k sa puissance. Le passage de N vers φ (N) « descend » la puissance de k d’une unité. Si on applique 3 fois (fort de degré 3), alors le nombre φ( φ( φ (N))) a donc pour plus grand facteur premier q , à la puissance k-3. Pour que ce nombre soit un nombre d’Achille, il faut que sa puissance soit supérieure ou égale à 2. On a donc

k-3≥2 donc k≥5.

Un nombre d’Achille fort au 3°degré a une puissance supérieure ou égale à 5 pour son plus grand facteur premier.

Recherche des nombres d’Achille forts de rang 3 à 2 facteurs (p, q).

Comme p<q, alors p⁵<q⁵ et p⁷= p⁵*p²<q⁵*p²<10⁷ donc p<10. Les valeurs possibles de p sont {2,3,5,7}

Cas p=2

Il s’agit des nombres de la forme N=2^2+a*q^5+b. La valeur maximale de q est obtenue pour a=b=0 et est donnée par q<⁵√(10⁷/4)≈19,04

Donc q peut prendre les valeurs {3,5,7,11,13,17,19}, mais pour que φ (N)= Πi piaj-1

*(pi-1) soit un nombre d’Achille, il faut que q-1 :

 soit une puissance de 2 (cas des nombres {3,5,17}

 ou que q-1 comporte (outre 2) un facteur premier au carré. Cas du nombre {19}

Ce qui élimine de la liste les valeurs {7, 13} qui génèrent (pour φ (N)) un ‘3’ et {11} qui génère (pour φ (N) un ‘5’, donc non divisible par son diviseur au carré.

Il y a donc, pour p=2, 4 valeurs de ‘q’ à étudier {3,5,17,19}

Pour p=2 et q=3

le tableau ci-dessous donne les valeurs des puissances de ‘2’ cad (a+2) et de ’3’ (5+b) qui donnent des nombres d’Achille <10⁷, les puissances en rouge/orange/violet sont des puissances entières a travers les différentes compositions. Seuls les puissances en vert conduisent à des nombres d’ Achille forts au 3° degré.

Le deuxième tableau explicite lesdits nombres d’Achille fort de rang 3 pour le cas p=2 et q=3.

2+a b+5

2 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 5 6 7 8 9 10 5

6 5 6 7 8 9 10

7 5 6 7 8 9 10

8 5 6 7 8 9

9 5 6 7 8

10 5 6 7 8

11 5 6 7

12 5 6 7

13 5 6

14 5 15 5

N 2⁵*3⁹ 629 856 2⁷*3⁵ 31 104 2⁷*3⁶ 93 312 2¹¹*3⁵ 497 664 φ (N)= 2⁵*3⁸ 209 952 2⁷*3⁴ 10 368 2⁷*3⁵ 31 104 2¹¹*3⁴ 165 888 φ (φ (N))= 2⁵*3⁷ 69 984 2⁷*3³ 3 456 2⁷*3⁴ 10 368 2¹¹*3³ 55 296 φ (φ (φ (N)))= 2⁵*3⁶ 23 328 2⁷*3² 1 152 2⁷*3³ 3 456 2¹¹*3² 18 432

N 2¹¹*3⁶ 1 492 992 2¹¹*3⁷ 4 478 976 2¹³*3⁵ 1 990 656 2¹³*3⁶ 5 971 968 φ (N)= 2¹¹*3⁵ 497 664 2¹¹*3⁶ 1 492 992 2¹³*3⁴ 663 552 2¹³*3⁵ 1 990 656 φ (φ (N))= 2¹¹*3⁴ 165 888 2¹¹*3⁵ 497 664 2¹³*3³ 221 184 2¹³*3⁴ 663 552 φ (φ (φ (N)))= 2¹¹*3³ 55 296 2¹¹*3⁴ 165 888 2¹³*3² 73 728 2¹³*3³ 221 184

(5)

Il y a 8 nombres d’Achilles forts au rang 3 pour p=2 et q=3 qui sont :{ 629 856 , 31 104, 93 312, 497 664, 1 492 992 , 4 478 976, 1 990 656, 5 971 968 }

Pour p=2 et q=5

le tableau ci-dessous donne les valeurs des puissances de ‘2’ cad (a+2) et de ’5’ (5+b) qui donnent des nombres d’Achille <10⁷, les puissances en rouge/orange/violet sont des puissances entières a travers les différentes compositions. Seuls les puissances en vert conduisent à des nombres d’ Achille forts au 3° degré.

Le deuxième tableau explicite lesdits nombres d’Achille fort de rang 3 pour le cas p=2 et q=5

a+2

2 5 6 7 8 9

3 5 6 7 8

4 5 6 7 8

5 5 6 7

6 5 6 7

7 5 6 7

8 5 6

9 5 6

10 5

11 5

5+b

N 2²*5⁹ 7 812 500 2²*5⁵ 12 500 2³*5⁸ 3 125 000 2⁴*5⁷ 1 250 000 2⁵*5⁶ 500 000 φ (N)= 2³*5⁸ 3 125 000 2³*5⁴ 5 000 2⁴*5⁷ 1 250 000 2⁵*5⁶ 500 000 2⁶*5⁵ 200 000 φ (φ (N))= 2⁴*5⁷ 1 250 000 2⁴*5³ 2 000 2⁵*5⁶ 500 000 2⁶*5⁵ 200 000 2⁷*5⁴ 80 000 φ (φ (φ (N)))= 2⁵*5⁶ 23 328 2⁵*5² 288 2⁶*5⁵ 200 000 2⁷*5⁴ 80 000 2⁸*5³ 32 000 N 2⁶*5⁵ 200 000 2⁶*5⁷ 5 000 000 2⁷*5⁶ 2 000 000 2⁸*5⁵ 800 000

φ (N)= 2⁷*5⁴ 80 000 2⁷*5⁶ 2 000 000 2⁸*5⁵ 800 000 2⁹*5⁴ 320 000 φ (φ (N))= 2⁸*5³ 32 000 2⁸*5⁵ 800 000 2⁹*5⁴ 320 000 2¹⁰*5³ 128 000 φ (φ (φ (N)))= 2⁹*5² 12 800 2⁹*5⁴ 320 000 2¹⁰*5³ 128 000 2¹¹*5² 51 200

Il y a 9 nombres d’Achilles forts au rang 3 pour p=2 et q=5 qui sont : {7 812 500, 12500, 3 125 000, 1 250 000 , 500 000 , 200 000 , 5 000 000 , 2 000 000, 800 000 }

Pour p=2 et q=17

La seule valeur possible<10⁷ est 2²*17⁵= 5679428. Après composition de l’indicatrice on obtient 2⁵*17⁴puis 2⁸*17³et enfin 2¹¹*17². le tableau suivant donne les différents nombres d’Achilles successifs.

N 2²*17⁵ 5 679 428

φ (N)= 2⁵*17⁴ 2 672 672 φ (φ (N))= 2⁸*17³ 1 257 728 φ (φ (φ (N)))= 2¹¹*17² 591 872

Il y 1 solution pour p=2 et q=17, qui sont :{ 5 679 428 } Pour p=2 et q=19

La seule valeur possible<10⁷ est 2²*19⁵= 9904396. Après composition de l’indicatrice on obtient 2²*3²*19⁴ qui est une puissance parfaite. Le cas p=2 et q=19 ne donne pas de solution.

Cas p=3

Donc q peut prendre les valeurs {5,7,11,13}, mais pour que φ (N)= Πi piaj-1

 soit une puissance (au moins au carré) de 2 (cas du nombre {5}

 ou que q-1 comporte (outre 2²) un facteur premier au carré. Pas de cas

(6)

 ou que q-1 comporte (outre 2²) un le nombre ‘3’. Cas du nombre {13}

Ce qui élimine de la liste la valeur {7} qui génère (pour φ (N)) un ‘2’ et {11} qui génère (pour φ (N) un ‘5’, donc non divisible par ce diviseur au carré.

Il y a donc pour p=3, 2 valeurs de ‘q’ à étudier {5,13}.

Pour p=3 et q=5

Comme ‘5’ génère seulement une puissance de 2, il faut que le facteur ‘3’ soit « au moins » à la puissance 5 pour soutenir la décrémentation des différentes étapes de l’indicatrice d’Euler.

Les 3 possibilités <10⁷ sont : 3⁶*5⁵ ou 3⁷*5⁵ et 3⁵*5⁶ Les valeurs sont données dans le tableau suivant :

N 3⁶*5⁵ 2 278 125 3⁷*5⁵ 6 834 375 3⁵*5⁶ 3 796 875 φ (N)= 3⁵*2³*5⁴ 1 215 000 3⁶*2³*5⁴ 3 645 000 3⁴*2³*5⁵ 2 025 000 φ (φ (N))= 3⁴*2⁵*5³ 324 000 3⁵*2⁵*5³ 972 000 3³*2⁵*5⁴ 540 000 φ (φ (φ (N)))= 3³*2⁷*5² 86 400 3⁴*2⁷*5² 259 200 3²*2⁷*5³ 144 000 Il y 3 solutions pour p=3 et q=5, qui sont :{ 2 278 125, 6 834 375, 3 796 875 }

Pour p=3 et q=13

La seule possibilité <10⁷ est 3²*13⁵= 3 341 637 le nombre généré par l’indicatrice d’Euler est 3²*2³*13⁴. En effet 13 génère 4(2²) et ‘3’, permettant à la puissance de ‘3’ de rester inchangée lors des différentes compositions et 3 génère ‘2’, permettant à 2 de s’incrémenter de ‘2’ à chaque composition.

Le tableau suivant donne les valeurs successives : N 3²*13⁵ 3 341 637

φ (N)= 3²*2³*13⁴ 2 056 392 φ (φ (N))= 3²*2⁵*13³ 632 736 φ (φ (φ (N)))= 3²*2⁷*13² 194 688

Il y 1 solution pour p=3 et q=13, qui est :{ 3 341 637 }

Cas p=5

Donc q peut prendre les valeurs {7,11,13}, mais pour que φ (N)= Π_i p_i^aj-1 *(p_i-1) soit un nombre d’Achille, il faut que q-1 :

 soit une puissance (au moins au carré) de 2 pas de cas dans la liste ci-dessus,

 ou que q-1 comporte (outre 2²) un facteur premier au carré. Pas de cas dans la liste ci-dessus,

 ou que q-1 comporte (outre 2) le nombre ‘5’. Soit la valeur {11} qui génère (pour φ (N) un ‘2’

et un ‘5’

Ce qui élimine de la liste la valeur {7} qui génère (pour φ (N)) un ‘2’ un ‘3’ et {13} qui génère (pour φ (N) un ‘3’ et donc non divisible par ce diviseur au carré.

Il y a donc pour p=5, une valeur de ‘q’ à étudier qui est q=11.

La seule possibilité <10⁷ est N=5²*11⁵. Les autres cas sont supérieurs.

N 5²*11⁵ 4 026 275 φ (N)= 2³*5²*11⁴ 2 928 200 φ (φ (N))= 2⁵*5²*11³ 1 064 800 φ (φ (φ (N)))= 2⁷*5²*11² 387 200

Il y 1 solution pour p=5 et q=11, qui est :{ 4 026 275 }

Cas p=7

(7)

Donc q peut prendre la valeur {11}, mais pour que φ (N)= Πi piaj-1

 soit une puissance (au moins au carré) de 2 ; pas de cas dans la liste ci-dessus,

 ou que q-1 comporte (outre 2²) un facteur premier au carré ; Pas de cas dans la liste ci-dessus,

 ou que q-1 comporte (outre 2²) un le nombre ‘7’ ; Pas de cas dans la liste ci-dessus

Ce qui élimine de la liste la valeur {11} qui génère (pour φ (N)) un ‘2’ un ‘5’ donc non divisible par ces diviseurs au carré.

Il y a donc pour p=7, aucune valeur de ‘q’ à étudier.

Recherche des nombres d’Achille forts de rang 3 à 3 facteurs (p, q, r) :

Comme p<q<r, alors p²<q² donc p⁴< p^2*q² et comme p⁵<r⁵ alors p⁹= p⁵*p⁴< p²*q²*r⁵ <10⁷ donc p<5.99. Les valeurs possibles de p sont {2,3,5}.

Si p=2 alors 2²*q⁷< 2²*q²*r⁵ <10⁷ donc q<8,2 donc peut prendre les valeurs {3,5,7}.

 Si q=3 alors 2²*3²*r⁵ <10⁷ donc r<12,3 donc peut prendre les valeurs {5,7,11}

 Si q=5 alors 2²*5²*r⁵ <10⁷ donc r<10 donc peut prendre la valeur {7}

 Si q=7 alors 2²*7²*r⁵ <10⁷ donc r<8,7 donc pas compatible avec r>q=7 Si p=3 alors 3²*q⁷< 3²*q²*r⁵ <10⁷ donc q<7,3 donc peut prendre les valeurs {5,7}

 Si q=5 alors 3²*5²*r⁵ <10⁷ donc r<8,5 donc peut prendre la valeur {7}

 Si q=7 alors 3²*7²*r⁵ <10⁷ donc r<7,4 donc pas compatible avec r>q=7 Si p=5 alors 5²*q⁷< 5²*q²*r⁵ <10⁷ donc q<6,3 donc pas de valeur possible.

Analyses des 5 triplets (p, q, r) potentiels :

Triplet (2,3,5) donc de la forme pâ*q^b*r^5+c= 2â*3^b*5^5+c. alors φ (N)= 2â+2*3^b-1*5^5+c-1 ceci implique que b≥5 pour maintenir un facteur premier (en l’occurrence ‘3’) qui soit au moins un carré lors de la troisième composition de l’indicatrice d’Euler. La valeur minimale générée par ce triplet est 2²*3⁵*5⁵=3 037 500. Les deux autres possibilités <10⁷ sont 2³*3⁵*5⁵=6 075 000 et 2²*3⁶*5⁵=9 112 500.

Le tableau suivant indique que la première possibilité donne un carré parfait lors de la première composition. Les deux autres nombres sont Achilles forts de degrés 3.

N 2²*3⁵*5⁵ ^{3 037 500} 2³*3⁵*5⁵ 6 075 000 2²*3⁶*5⁵ 9 112 500 φ (N)= 2⁴*3⁴*5⁴ ^{810 000} 2⁵*3⁴*5⁴ 1 620 000 2⁴*3⁵*5⁴ 4 860 000 φ (φ (N))= 2⁷*3³*5³ ^{432 000} 2⁶*3⁴*5³ 648 000 φ (φ (φ (N)))= 2⁹*3²*5² 115 200 2⁸*3³*5² ^{172 800} Il y 2 solutions pour p=2 et q=3 et r=5, qui sont :{ 6075000, 9112500 }.

Triplet (2,3,7) : On constate que 7 « alimente » ‘3’ et ‘2’ à chaque composition de l’indicatrice et ‘3’

alimente ‘2’. La puissance de ‘3’ reste inchangée lors des compositions successives alors que celle de

‘2’ est incrémentée d’une unité. la forme de ces nombres est : p^a+2*q^b+2*r^5+c= 2^a+2*3^b+2*7^5+c.

Le tableau suivant liste les puissances possibles de chacun des 3 facteurs, pour rester <10⁷ et les puissances successives lors de chaque composition, permettant d’éliminer les puissances entières.

Il reste ainsi 7 possibilités qui sont explicitées dans le deuxième tableau.

(8)

a+2 b+2 c+5

2 2 5

2 2 6

2 3 5

2 4 5

3 2 5

3 2 6

3 3 5

4 2 5

4 3 5

5 2 5

6 2 5

N 2²*3³*7⁵ ^{1 815 156} 2²*3²*7⁵ ^{605 052} 2³*3²*7⁶ ^{8 470 728} 2³*3³*7⁵ ^{3 630 312} 2⁴*3²*7⁵ ^{2 420 208} 2²*3⁴*7⁵ ^{5 445 468} 2⁶*3²*7⁵ ^{9 680 832} φ (N)= 2³*3³*7⁴ ^{518 616} 2³*3²*7⁴ ^{172 872} 2⁴*3²*7⁵ ^{2 420 208} 2⁴*3³*7⁴ ^{1 037 232} 2⁵*3²*7⁴ ^{691 488} 2³*3⁴*7⁴ ^{1 555 848} 2⁷*3²*7⁴ ^{2 765 952} φ (φ (N))= 2⁴*3³*7³ ^{74 088} 2⁴*3²*7³ ^{49 392} 2⁵*3²*7⁴ ^{691 488} 2⁵*3³*7³ ^{296 352} 2⁶*3²*7³ ^{197 568} 2⁴*3⁴*7³ ^{444 528} 2⁸*3²*7³ ^{790 272} φ (φ (φ (N)))= 2⁵*3³*7² ^{10 584} 2⁵*3²*7² ^{14 112} 2⁶*3²*7³ ^{197 568} 2⁶*3³*7² ^{84 672} 2⁷*3²*7² ^{56 448} 2⁵*3⁴*7² ^{127 008} 2⁹*3²*7² ^{225 792}

Il y 7 solutions pour p=2 et q=3 et r=7, qui sont :{ 1 815 156, 605 052, 8 470 728, 3 630 312, 2 420 208, 5 445 468, 9 680 832}.

Triplet (2,3,11) : ce triplet ne donne pas un nombre d’Achille lors de sa composition: {11} génère {5}

lors de la composition φ (N), donc pas un nombre d’Achille.

Triplet (2,5,7) : ce triplet ne donne pas un nombre d’Achille lors de sa composition: {7} génère {3}

lors de la composition φ (N), donc pas un nombre d’Achille.

Triplet (3,5,7):On Remarque que {5} n’est pas “alimenté” lors des compositions successives, aussi il faut que la puissance de ‘5’ soit au moins de ‘5’. Le plus petit nombre généré 3²*5⁵*7⁵ est >10⁷.

Les nombres d’Achille forts de rang 3 à 3 facteurs sont {607500, 9112500, 1815156, 1210104, 8470728, 7260624, 4840416}.

Recherche des nombres d’Achille forts de rang 3 a 4 facteurs (p, q, r, s).

Le plus petit nombre possible est 2²*3²*5²*7⁵=15 126 300 >10⁷

Il n’y a pas de nombre d’Achille potentiellement forts de rang 3 à 4 facteurs.

Conclusion et solutions :

Les solutions à la question Q1 sont : {72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323,1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000}

Les solutions à la question Q2 sont les ‘ nombres suivants:{500, 864, 1944 et 2000}

Les solutions à la question Q3 sont les 32 nombres d’Achille forts de rang 3 suivants: {629 856 , 31 104, 93 312, 497 664, 1 492 992 , 4 478 976, 1 990 656, 5 971 968, 7 812 500, 12500, 3 125 000, 1 250 000 , 500 000 , 200 000 , 5 000 000 , 2 000 000, 800 000, 5 679 428, 2 278 125, 6 834 375, 3 796 875, 3 341 637 , 4 026 275 6075000, 9112500, 1 815 156, 605 052, 8 470 728, 3 630 312, 2 420 208, 5 445 468, 9 680 832}.

Ou mis en ordre croissant :

{12 500, 31 104, 93 312, 200 000, 497 664, 500 000, 605 052, 629 856, 800 000, 1 250 000, 1 492 992, 1 815 156, 1 990 656, 2 000 000, 2 278 125, 2 420 208, 3 125 000, 3 341 637, 3 630 312, 3 796 875, 4 026 275, 4 478 976, 5 000 000, 5 445 468, 5 679 428, 5 971 968, 6 075 000, 6 834 375, 7 812 500, 8 470 728, 9 112 500, 9 680 832} ;

*Fin*