D649 – Une longueur minimax [*** à la main]
Dans un triangle ABC, les angles en A et B valent respectivement 90° et 30°. BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Je pense à la construction d'un triangle équilatéral inscrit . Mais dans tout triangle scalène , il y en a une infinité .
Pour preuve : Prenons le problème à l'envers . On construit d'abord ce triangle équilatéral ; puis un scalène circonscrit à ce triangle .
A tour de rôle on peut effectuer une rotation d'angle t de chacun des côtés du scalène autour du sommet D , E ou F qui lui appartient .
Et quel que soit l'angle t , on construit toujours des scalènes semblables . Maintenant il faut trouver la bonne rotation du triangle équilatéral à construire . Au début j'ai construit les bissectrices des angles A & C (90° et 30) .
Elle forment un angle de 120° . Le côté du triangle équilatéral inscrit mesure 32.817 avec une longueur de 100 pour l'hypoténuse de départ .
c = 100 x V3 x sin 15° / [ 1 + V2 . sin 15° ]
Avec la construction de la bissectrice de l'angle de 60° on obtient un côté légèrement plus grand qui vaut un tiers de l'hypoténuse.Soit c = 33.333
Dans le premier cas les bissectrices des angles A , B & C forment avec le côté respectif du triangle inscrit les angles respectifs 90° , 90° & 75°
Je pense qu'il faut faire tourner le triangle recherché d'un angle t de telle sorte que 90 - (75 + t ) = 180 - [90-t + 90-t ]. Soit t = 5°
Le côté du triangle équilatéral mesure dans ce cas : 32.737
Pour la construction j'ai d'abord utilisé les 6 trisectrices intérieures de ABC afin de construire un triangle de Morley . Puis j'ai construit un triangle semblable A'B'C'
circonscrit à DEF . j'ai alors construit le centre d'homothétie O (intersection de AA' et BB' ) puis mesuré le rapport EF / BC .
Par la suite je n'avais plus qu'à agrandir le tout pour récupérer BC = 100 .
