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Solution proposée par Gaston Parrour

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D649. Une longueur minimax

Soit un triangle ABC demi-équilatéral dont l’angle en A vaut 90° et BC = 1. Déterminer la plus petite longueur possible du plus grand côté du triangle dont les trois sommets se trouvent respectivement sur les trois côtés du triangle ABC. Construire à la règle et au compas le triangle correspondant

Solution proposée par Gaston Parrour

Config. 1 Config. 2

Préliminaires

Dans les figures ci-dessus avec BC = 1, on convient que le demi-triangle équilatéral est tel que AB = 1/2 Dans la configuration 1, la bissectrice interne de ang BAC coupe BC en A'' (pointillés rouges) ;

Dans la configuration 2, la bissectrice de ang ABC est représentée en pointillés rouges.

Soit A'B'C' un triangle interne au triangle ABC et supposons que B'C' soit le plus grand des trois côtés, avec par exemple C'A' < A'B' < B'C',

Soit I l'intersection de B'C' avec la bissectrice [AA'') de ang BAC (config. 1) : Pour I fixé :

B'C' est le plus petit possible lorsque B'C' est perpendiculaire à la bissectrice [AA'')

et dans ce cas, puisque B'C' > A'B' , B'C' doit être infiniment voisin de A'B' → B'C' = A'B' + eps1 B'C' est alors minimal lorsque A'B' > C'A' est à son tour le plus petit possible A'B' = C'A' + eps2 → Il est clair qu'à la limite où eps1 et eps2 → 0 la plus petite longueur possible de B'C' est atteinte : ===> Le triangle B'C'A' est un triangle équilatéral dont le côté B'C' est perpendiculaire à la bissectrice interne en A (cf . config. 1)

Dans ce cas de la configuration 1 , précisons la géométrie de ce triangle équilatéral A'B'C' Avec B'C' perpendiculaire à la bissectrice [AA'') et ang BAC = 90°

→ I est le milieu de B'C' (triangle rectangle B'AC')

==> [AI) médiatrice de B'C' passe par le sommet A' du triangle équilatéral A'B'C' → A' et A '' sont confondus

Puisque A' et A'' sont confondus :

→ ang AA'C = 105° donc ang B'A'C = 75° = ang A'B'C ==> le triangle A'CB' est isocèle de sommet C dans cette configuration Longueur L1 du côté du triangle équilatéral :

dans ABC triangle demi-équilatéral (avec AB = 1/ 2 ), on a AC = sqrt(3)/2 soit B'A = y , on a

(triangle B'AC') L1 = sqrt(2) y

(triangle A'CB') L1 = 2 CB' x cos(75°) = 2 (sqrt(3)/2 – y) x a avec a = cos (75°) d'où

C

A B

C

A B

A' B'

C' B'

C' A'

I

A''

u v

B1 B2

(2)

L1 = sqrt(3) a / ( 1+ sqrt(2) a) soit avec a = 0,2588 ... → L1 = 0,3281 … Remarque A partir de ce qui précède, on est conduit à considérer deux autres cas semblables :

Le triangle équilatéral A'B'C' est la figure limite d'un triangle dont

cas 1 – ''le plus grand côté'' a pour limite [B'A'], perpendiculaire à la bissectrice intérieure de l'angle en C et dans ce cas le triangle CB'A' est alors isocèle,

→ cette configuration, identique à la configuration 1 examinée ci-dessus, conduit à la même valeur L1 pour la longueur du côté

cas 2 – ''le plus grand côté'' [A'C'] est perpendiculaire à la bissectrice intérieure de l'angle en B → ce cas est représenté par la configuration 2 (Config. 2)

Dans ce cas de la configuration 2 , précisons la géométrie du triangle équilatéral A'B'C'

Comme dans le cas précédent : ici lorsque A'C' est perpendiculaire à la bissectrice interne en B, cette bissectrice médiatrice de A'C' passe par le sommet B' du triangle équilatéral

Les angles mis en jeu ici sont 30° et 60° , et par conséquent :

AB'C' est un triangle demi-équilatéral avec AC' = B'C'/2 A'B'C'B est un losange donc C'B = B'C' D'où, la longueur L2 du côté de ce triangle équilatéral

AB = 1/2 = AC' + C'B = 3/2 L2 → L2 = 1/3 En conclusion de cette approche :

==> Cela montre qu'avec le triangle équilatéral (forme la plus favorable), la longueur du côté décroît de L2 (Config. 2) à L1 (Config. 1)

N.B. Dans la configuration 2 un côté est perpendiculaire à la bissectrice interne en B dans la configuration 1 un côté est perpendiculaire à la bissectrice interne en A ==> D'où la question :

Existe-t-il une position intermédiaire pour laquelle la longueur L3 du côté est inférieure à L1 ? N.B. Dans ce qui suit les notations sont celles des figures initiales

Puisqu'on a affaire à un triangle équilatéral, considérons le cas général . Dans le repère [AB), [AC) AC' = u AB' = v donc L3 = sqrt(u²+v²) (1)

→ A' qui ici se déduit de B' par une rotation de centre C' et d'angle – PI/3, doit appartenir à la droite (BC)

Avec B' de coordonnées (0 , v) , la rotation considérée conduit à

A' de coordonnées (x=u/2 + sqrt3 v/2 , y=sqrt3 u/2 + v/2) La droite (BC) a pour équation y = -sqrt3 x/2 + sqrt3 / 2

Les coordonnées de B' vérifient cette équation :

d'où la relation sqrt3 u + 2 v = sqrt3 / 2 (2) on pose a = sqrt3 b = 2

→ L'extremum de L3

Avec la relation (2), L3 exprimé par (1) est une fonction d'une seule variable, par exemple u La dérivée dL3/du s'annule pour u + v dv/du = 0 soit udu + vdv = 0

et à partir de (2) on a → sqrt3 du + 2 dv = 0 donc la solution (u0,v0) qui annule la dérivée (extremum atteint), vérifie u0/a = v0/b = (a/b) / (a²+b²) d'où u0 = 3/14 et v0 = sqrt3 / 7 cela correspond à

L3 = sqrt(9 + 12) / 14 = 0,327 …

Conclusion finale

La valeur de L3 confirme qu'il s'agit bien ici d'un minimum pour L3

==> Le minimum absolu du côté du triangle équilatéral est L3 = sqrt(u0² + v0²) = 0,327 … avec u0 = 3/14 et v0 = sqrt3 / 7

(3)

Construction à la règle et au compas

N.B. Dans la construction décrite, les notations sont celles des figures initiales (cf. en particulier Config. 2)

→ On peut remarquer que v0/u0 = 2 x (sqrt3 /3) = 2 x tan (PI/6)

L'angle en B est de 60°. sa bissectrice intérieure coupe CA en un point B1 et AB1/AB = tan (PI/6) → on construit la bissectrice intérieure de B avec le compas seul (construction classique)

Si à partir de B1, avec le compas, on reporte sur CA le symétrique B2 de A par rapport à B1 : alors AB2 / AB = 2 x tan (PI/6) = v0/u0

→ La droite (BB2) est parallèle au côté minimal cherché de pente v0/u0 Il ne reste plus qu'à définir par exemple le point C' sur AB :

on a AC' = u0 = 3/14 donc BC' = 1 /2 – 3/14 = 4/14

Le point C' partage le segment [AB] dans le rapport C'A / C'B = 3 /4 Alors avec la règle et le compas (et le théorème de Thalès!) :

une droite (d) quelconque issue de A distincte de (AB) (tracée à la règle) une ouverture de compas quelconque portée 7 fois le long de (d) en partant de A A → A1 → A2 … → A7

puis A7 joint à B (règle)

→ la parallèle* à (A7 B) passant par A3 fournit le point C' Alors la parallèle* à (BB2) passant par C' coupe [AC] au point B' → Le triangle équilatéral A'B'C' est obtenu avec le compas

Celui-ci centré par exemple en C' et d'ouverture C'B' produit un cercle coupant (BC) en A' entre B et C.

* les parallèles sont construites à la règle et au compas de façon classique

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