Enoncé D1864 (Diophante) Trois parallèles
Etant donné le triangle ABC, construire le triangle isocèleA0BC tel que 6 CBA0 =6 A0CB = 6 BAC *. La droite [BA0] coupe la droite [AC] en A1 et la droite [CA0] coupe la droite [AB] en A2. Construire de mêmeB0,B1 etB2 et enfin C0,C1 etC2.
Montrer que les droites [A1A2], [B1B2] et [C1C2] sont parallèles.
*Nota : si l’angle 6 BAC est aigu, A0 se trouve dans le même demi-plan que Apar rapport à la droite [BC].
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques de baseA, B, C. Je note les longueursBC =a,CA=b,AB=c.
Le triangleBCA1 est semblable au triangleABC à retournement près, du fait de ses angles égaux àA(enB) etC, d’où l’angleBen A1. Le rapport de similitude estBC/AC=a/b(rapport des côtés opposés à l’angle B) ; [CA1] opposé à l’angle A a pour longueur a2/b=CA(a2/b2),
D’où les coordonnées barycentriques deA1(a2/b2,0,1−a2/b2). De même pour A2(a2/c2,1−a2/c2,0).
La droite [A1A2] admet pour équation
x y z
a2 0 b2−a2 a2 c2−a2 0
= 0.
Le développement de ce déterminant donne
a2(b2+c2−a2)(x+y+z)−a2b2c2(x/a2+y/b2∗z/c2) = 0.
De la même façon, on obtient l’équation de [B1B2] :
b2(c2+a2−b2)(x+y+z)−a2b2c2(x/a2+y/b2∗z/c2) = 0, et celle de [C1C2] :
c2(a2+b2−c2)(x+y+z)−a2b2c2(x/a2+y/b2∗z/c2) = 0.
Le point commun à la droite d’équation x+y +z = 0 (droite de l’infini) et à la droite D d’équation x/a2 +y/b2 ∗ z/c2 = 0 appartient aussi à ces trois droites. Les cinq droites sont concou- rantes. Autrement dit, les droitesD, [A1A2], [B1B2] et [C1C2] sont parallèles, CQFD.
