Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur

D1891. La géométrie des couleurs (1er épisode) **

Q1 Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur.

Q2 Les sommets d’un triangle dont les angles sont distincts et6=0 modulo 30˚sont coloriés respective- ment en bleu (A), en rouge (B) et en vert (C) dans le sens horaire sur le cercle circonscrit àABC. A partir de deux points quelconquesX etY de couleurs différentes, un tour consiste à colorier de la troisième couleur le sommetZ d’un triangle équilatéralX Y Z, l’ordre des couleurs sur le cercle circonscrit àX Y Z étant le même que celui du triangleABC.

Démontrer qu’après un certain nombre de tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les trois droites qui portent les trois couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera à la règle et au compas.

Solution de Claude Felloneau

Q1 Il existe au moins un triangle équilatéral dont les les trois sommets sont de la même couleur.

Si ce n’est pas le cas, il existe au moins deux points distincts A etB coloriés en bleu et les deux pointsCetDtels que les trianglesABCetAB Dsont équilatéraux sont coloriés en rouge. Le milieu com- mun deABetC Dest soit bleu, soit rouge. Il existe donc au moins trois pointsP,Q,Rcoloriés de la même couleur, par exemple bleue, tels queQest le milieu deP R.

SoientS,T,U des points situés dans le même demi-plan de frontière (AB) tels que les trianglesPQT, QRSetP RUsont équilatéraux.

TetSsont nécessairement coloriés en rouge.

P Q R

U

T S

SiUest colorié en bleu, les trois sommets du triangle équilatéralP RU sont coloriés en bleu.

SiUest colorié en rouge, les trois sommets du triangle équilatéralT SU sont coloriés en rouge.

On aboutit donc à une contradiction.

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Q2 Les points coloriés en bleu sont sur la droite∆A=(A A1) oùA1l’image deBpar la rotation de centreC et d’angleπ/3.

Les points coloriés en rouge sont sur la droite∆B=(B B₁) oùB₁l’image deCpar la rotation de centreAet d’angleπ/3.

Les points coloriés en vert sont sur la droite∆C =(CC1) oùC1l’image deApar la rotation de centreBet d’angleπ/3.

Comme les angles du triangleABCsont différent de 0 modulo 30˚,A16=A,B16=betC16=C.

• Les cercles circonscrits aux trianglesAB₁C,BC₁AetC A₁Bsont concourants en un pointI. En effet, les tangentesTB etTC en A aux cercles AB1C etBC1A respectivement sont telles que : (TB,AC)≡(B1A,B1C)≡π/3 [π] et (TC,C B)≡(A1C,A1B)≡π/3 [π].

Donc (TB,TC)≡(TB,AC)+(AC,BC)+(BC,TC)≡(AC,BC) [π].

Comme A,B etC ne sont pas alignés,TB etTC sont distincts et les cercles AB1C etBC1A ne sont pas tangents. Il en est de même pour les cerclesBC1AetC A1Bet pour les cerclesC A1BetAB1C.

Les cerclesAB₁CetBC₁Ase recoupent donc en un pointI distinct deA.

Avec des angles de droites, on a :

(I B,I A)≡(C1B,C1A)≡π/3 [π], (I A,IC)≡(B1A,B1C)≡π/3 [π] et (A1C,A1B)≡π/3 [π] donc (I B,IC)+(A₁C,A₁B)≡0 [π] d’où (I B,IC)≡(A₁B,A₁C) [π].

Ce qui prouve queIappartient au cercleC A1B.

De plusI est différent deBetC car les cerclesBC1AetC A1B d’une part, et les cerclesC A1Bet AB1C d’autre part, ne sont pas tangents.

A

C

B

B₁ A₁

C1

B₂ A2

I

• Les droites∆A=(A A1),∆B=(B B1) et∆C=(CC1) sont concourantes enI.

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En effet, (I B1,I A)≡(C B1,C A)≡π/3 [π] et (I A,I B)= −π/3 [π] donc (I B1,I B)≡0 [π]. AinsiI∈∆A. On prouve de même queI∈∆BetI∈∆C.

• SiX ∈∆AetY ∈∆B, le troisième sommetZ du triangle équilatéralX Y Z qui a la même orienta- tion queABCest l’image deX par la rotationrde centreY et d’angleπ/3. Démontrons queZ ∈∆C. On poseJ=r(I) etK=r⁻¹(I).

SiY =I, comme (∆A,∆C)≡π/3 [π],r(∆A)=∆C. OrX∈∆AetZ =r(X), doncZ ∈∆C. SiI6=Y alorsI6=KetI6=J.

Y K Iétant un triangle équilatéral direct, (∆B,I K)≡(I Y,I K)≡π/3 [π].

Or (∆B,I A)=(I B,I A)≡π/3 [π] doncK∈(I A)=∆A. On démontre de même queJ∈∆C.

On a doncr(∆A)=r(I K)=(J I)=∆C. OrX∈∆AetZ=r(X), doncZ∈∆C.

De même, siX∈∆B etY ∈∆CalorsZ∈∆A, et siX∈∆CetY ∈∆AalorsZ∈∆B.

• Tous les points en bleu, rouge, vert sont respectivement sur les droites∆A,∆B,∆C. En effet, on raisonne par récurrence sur le nombrende tours.

— Pourn=1 :

Si {X,Y}={A,B},Z est colorié en vert etZ=C1qui appartient à∆C. Si {X,Y}={A,C},Z est colorié en rouge etZ =B₁qui appartient à∆B. Si {X,Y}={B,C},Z est colorié en bleu etZ=A1qui appartient à∆A.

— On suppose qu’au bout dentours les points coloriés en bleu, rouge, vert sont respectivement sur les droites∆A,∆B,∆C.

Au (n+1)−ième tour, on choisit deux pointsXetY de couleurs différentes parmi lesn+3 points coloriés et on colorie le troisième sommetZ du triangle équilatéralX Y Z de même orientation queABCavec la troisième couleur.

- Si les couleurs des pointsX etY sont bleu et rouge,Z est colorié en vert. On peut supposer queX∈∆AetY ∈∆Bet on a alorsZ ∈∆C.

- Si les couleurs des pointsX etY sont rouge et vert,Z est colorié en bleu. On peut supposer queX∈∆B etY ∈∆Cet on a alorsZ ∈∆A.

- Si les couleurs des pointsX etY sont vert et bleu,Z est colorié en rouge. On peut supposer queX∈∆C etY ∈∆Aet on a alorsZ∈∆B. La propriété est donc vraie pour le point colorié au (n+1)−ième tour.

— La propriété est donc vraie pour tous les points coloriés quel que soit le nombre de tours.

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