Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N,k) entre lui- même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive.
Par exemple 12 est résistant car 12 − 12 −22 = 7 > 0. A l'inverse 256 ne l'est pas car 256
− 23 − 53 − 63 = − 93 < 0
Q1 Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.
Q2 Démontrer qu'il existe un entier N₀ tel que tous les entiers ≥ N₀ sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer le plus petite valeur possible de N₀.
Q1 : d(N, 1)=0
Si N=∑ai10i pour i allant de 0 à k-1, d(N, k)=∑ai(10i-aik-1) ; a0(1-a0) est maximum (nul) pour a0=0 ou 1 : pour toute solution donnée ci-dessous se terminant par 0, il existe une solution jumelle finissant par 1. Pour les autres termes, le maximum de ai est :
i\k 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2 1 1 1 1 1 1 1
6 3 2 2 1 1 1 1
7 4 3 2 2 2 1
7 4 3 3 2 2
7 5 4 3 3
7 5 4 4
8 6 5
8 6
8
Soit les solutions 50 ; 620 , 7310, 74210, 743210, 7532110, 85432110, 864322110, 8654321110, et les solutions jumelles se terminant par 1.
Q2 : d(10k-1, k)=10k-1-1>0, et pour tout autre nombre de k chiffres, N>10k-1 et
d(N,k)≥N-k*9k>10k-1-k 9k : ce dernier terme est une fonction croissante de k, tendant vers l’infini, donc il existe k0 tel que pour tout k≥k0, d(N, k)>0.
Plus précisément, k0=61 : en effet, 61*log(9)+log61<60.
On est donc amené à rechercher N0 parmi les nombres de 60 chiffres : on trouve alors N0=1020...0, 1019...9 étant le dernier non résistant.
