A367 ‒ Les entiers font de la résistance [** à **** à la main]
Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N,k) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive.
Par exemple 12 est résistant car 12 − 1² −2² = 7 > 0. A l'inverse 256 ne l'est pas car 256 − 2³ − 5³ − 6³ = − 93
< 0
Q₁ Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.
Q₂ Démontrer qu'il existe un entier N₀ tel que tous les entiers ≥ N₀ sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer le plus petite valeur possible de N₀.
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Un entier N à k chiffres est de la forme N = a.10k-1 + b.10k-2 + c.10k-3 + ...+ m
Cet entier est résistant si a.10k-1 + b.10k-2 + c.10k-3 + ...+ m − (ak + bk + ck + ...+ mk ) > 0 soit d(N,k) = a(10k-1 − ak-1) + b(10k-2 − bk-1) + c(10k-3 − ak-1) + ....+ m(1 − mk-1) > 0
On constate que pour maximiser d(N,k), cela revient à maximiser chacun des termes du premier membre de l'inégalité.
Pour ce faire on étudie la fonction fi(x) = x(10i − xk-1) pour les valeurs entières de x = 0 à 9.
La dérivée de fi(x) = f'i(x) = 10i − kxk-1 s'annule pour xi =
1 k
1 i
k 10
. On prend les deux valeurs entières les
plus proches de xi puis on retient celle qui maximise fi(x).
Par exemple:
- pour k = 7, on a le tableau suivant:
d'où les deux valeurs de N = 7 532 110 et 7 532 111 - pour k =, on a le tableau suivant:
d'où les deux valeurs de N = 8 654 321 110 et 8 654 321 111
Pour k = 1,d(N,1) est évidemment nul. Aucun entier à un chiffre n'est résistant.
D'où le tableau des entiers N tels que d(N,k) est maximal pour k variant de 2 à 10
Q₂
Quel que soit k, la quantité ak + bk + ck + ...+ mk est maximale quand a = b = c = ... = m = 9 Soit N constitué de k chiffres 9. On a N = 10k − 1 et N est résistant si 10k − 1 > k.9k.
En considérant 1 comme négligeable par rapport à 10k, cela revient à résoudre l'inégalité : log10(x) / x < 1 − log10(9) = 0.04575749..
On vérifie aisément avec un tableur qu'à partir de x = 34, cette inégalité est toujours satisfaite:
Les entiers N de la forme 10k − 1 pour k ≥ 34 sont donc résistants.
Mais si l'on considère les entiers N de la forme 2.10k − 1, ils ont k + 1 chiffres avec le premier chiffre égal à 1 et les k suivants tous égaux à 9. On a d(N,k+1) = 2.10k − 1 − k.9k+1 − 1k+1 = 2(10k − 1) − k.9k+1
Comme 34.9³⁵ = 8,51073...10³⁴ on obtient d(199...999,35) = 19 999 999 ...999 − 85 107 287 169 ..866 < 0 Les d(2(10k − 1) − k.9k+1,k + 1) restent négatifs pour tous les k ≤ 51.
Pour k = 52, l'entier 2.10k − 1 a 53 chiffres et s'écrit 19 999 ....999 avec 52 chiffres 9.
On a 52.9⁵³ = 1.95369..10.⁵³ et d(2.10k − 1,53) = 19 999 999 ...999 − 19 536 931 055 ...908 > 0
Mais l'entier N = 10⁵³ + 10⁵² − 1 qui a 54 chiffres et s'écrit 109 999 ...999 avec 52 chiffres 9 est tel que 52.9⁵⁴ = 1.75832...10⁵³. D'où d(10⁵³ + 10⁵² − 1, 54) = 109 999 ...999 − 175 832 379 503...172 < 0. Cet entier n'est donc pas résistant.
Il convient de poursuivre jusqu'à N = 10⁵⁹ + 10⁵⁸ − 1 qui a 60 chiffres et s'écrit 109 999 ....999 avec 58 chiffres 9. Comme 58.9⁶⁰ =1.04227..10⁵⁹, on a d(10⁵⁹ + 10⁵⁸ − 1,60) = 10 999 ....999 − 104 226 ...258 >0 L'entier 10⁵⁹ + 10⁵⁸ − 1 est donc résistant et l'on vérifie que l'entier 10⁵⁹ + 10⁵⁷ − 1 qui a le même nombre de chiffres = 60 chiffres, commence par 100 et contient 57 chiffres 9 n'est pas résistant.
En effet 57.9⁶⁰ = 1.0224...10⁵⁹. D'où d(10⁵⁹ + 10⁵⁷ − 1, 60) = 100 999 ...999 −102 429 587 095....857 < 0.
De la même manière 10⁵⁹ + 2.10⁵⁷ − 1 n'est pas résistant mais 10⁵⁹ + 3.10⁵⁷ − 1 le devient
Par ailleurs on vérifie que l'entier 10⁶⁰ + 10⁵⁸ − 1 est résistant car il est supérieur à 58.9⁶¹ = 9.38039..10⁵⁹.
Il en sera de même pour tout entier commençant par 100..de la forme 10p + 10p-2 − 1 avec p > 60
Conclusion: l'entier N₀ = 10⁵⁹ + 2.10⁵⁷ est le plus petit entier résistant à partir duquel tous les entiers qui lui sont supérieurs sont eux-mêmes résistants
