- les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P,

B142. Carré S&P magique ***

Les neuf entiers positifs distincts a

, a

, a

, b

, b

, b

, c

, c

, c

remplissent les neuf cases d’un carré 3 x 3 de sorte que :

- les produits des entiers sur une même ligne sont tous égaux au même entier P, - les sommes des entiers sur une même colonne sont tous égaux à un même nombre S qui est le plus petit nombre premier possible,

- aucun de ces entiers n’est un carré parfait.

Déterminer la liste des neuf entiers et prouver qu’elle est unique.

PROPOSITION Th Eveilleau

Il faut trouver un nombre premier S qui peut se décomposer en une somme de trois entiers de trois façons différentes.

Ces entiers doivent respecter les conditions proposées.

37 est le premier entier premier satisfaisant la décomposition en trois sommes d’entiers distincts satisfaisant les conditions.

A l’ordre près

S=11  11 = 2+3+6 unique décomposition

S=13  13 = 2+3+8 ; 2+5+6 sont les deux seules décompositions.

S=17  17 = 2+3+12 = 2+5+10 = 2+7+8 = 3+6+8 quatre décompositions mais il est impossible d’en obtenir trois avec des entiers tous distincts.

Avec des entiers tous distincts :

S=19  19 = 2+3+14 = 5+6+8 insuffisant OU 19 = 2+5+12= 3+6+10 insuffisant

Les autres décompositions 2+6+11=2+7+10+3+5+11 ne sont pas satisfaisantes.

S=23  23 = 2+3+18= 2+6+15 = 2+7+14 = 2+8+13 = 2+10+11 = 3+5+15 = 3+6+14 = 3+7+13 = 3+8+12 = 5+6+12 = 5+7+11 = 5+8+10 = 6+7+10

Il n’est pas possible de les associer trois par trois en respectant les conditions.

Avec 29 :

29 = 2+3+24 = 2+5+22 = 2+6+21 = 2+7+20 = 2+8+19 = 2+10+17 = 2+12+15 = 2+13+14 = 3+5+21 = 3+6+20 = 3+7+19 = 3+8+18 = 3+11+15 = 3+12+14 = 5+6+18 = 5+7+17 = 5+10+14 = 5+11+13 = 6+8+15 = 6+10+13 = 6+11+12 = 7+8+14 = 7+10+12 = 8+10+11 Avec 31 :

31 = 2+3+26 = 2+5+24 = 2+6+23 = 2+7+22 = 2+8+21 = 2+10+19 = 2+11+18 = 2+12+17 = 2+14+15 = 3+5+23 = 3+6+22 = 3+7+21 = 3+8+20 = 3+10+18 = 3+11+17 = 3+13+15 = 5+6+20 = 5+7+19 = 5+8+18 = 5+11+15 = 5+12+14 = 6+7+18 = 6+8+17 = 6+10+15 = 6+11+14 = 6+12+13 = 7+10+14 = 7+11+13 = 8+10+13 = 8+11+12

Enfin avec 37 nous avons :

37 = 2+3+32 = 2+5+30 = 2+6+29 = 2+7+28 = 2+8+27 = 2+11+24 = 2+12+23 = 2+13+22 = 2+14+21 = 2+15+20 = 2+17+18 = 3+5+29

= 3+6+28 = 3+7+27 = 3+8+26 = 3+10+24 = 3+11+23 = 3+12+22 = 3+13+21 = 3+14+20 = 3+15+19 = 5+6+26 = 5+8+24 = 5+10+22 = 5+11+21 = 5+12+20 = 5+13+19 = 5+14+18 = 5+15+17 = 6+7+24 = 6+8+23 = 6+10+21 = 6+11+20 = 6+12+19 = 6+13+18 = 6+14+17

= 7+8+22 = 7+10+20 = 7+11+19 = 7+12+18 = 7+13+17 = 8+10+19 = 8+11+18 = 8+12+17 = 8+14+15 = 10+12+15 = 10+13+14 = 11+12+14

Ainsi en analysant les p premiers entiers premiers, nous obtenons trois décompositions distinctes seulement pour 37.

La somme ne peut être que 37 et le produit 840 avec les entiers suivants :

2 20 21

7 12 10

28 5 6

A l’ordre des lignes et colonnes près (

), cette solution est UNIQUE.