Enoncé A346 (Diophante) Les entiers partageux Un entier naturel

Enoncé A346 (Diophante) Les entiers partageux

Un entier naturel k-partageux est le plus petit entier qui a exactement k diviseurs positifs y compris 1 et lui-même. On désigne par s(k) le terme général de la suite S des termes k-partageux. Les premiers termes sont s(1) = 1, s(2) = 2, s(3) = 4, s(4) = 6, . . .

Q1 Déterminer les plus petites valeurs de k telles que les entiers k- partageux correspondants sont respectivement divisibles par 5, 7, 11, 13.

Q2 Démontrer que l’équation s(k) = 10ka une solution et une seule enk.

Q3 Un entier n quelconque étant fixé à l’avance, démontrer qu’on sait toujours trouver deux termes consécutifs s(k) et s(k+ 1) de la suite S tels que le premier dépasse nfois le second. Application numérique : n= 1000000.

Q4 Démontrer ques(2ⁿ) divise s(2ⁿ⁺¹) pour tout n≥0.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

Le nombre de diviseurs d’un entiernest le produit des quantités 1 +ei, où e_i est l’exposant du facteur premier p_i dans la décomposition de n. Pour que n ayant k diviseurs soit s(k), il est nécessaire (et non suffisant) que lespi soient les premiers nombres premiers (p1= 2,p2= 3,p3= 5, . . .) et que la suite des exposantse₁, e₂, e₃, . . .soit décroissante au sens large.

Un s(k) multiple de 5 aura une décomposition 2^a·3^b·5^c· · ·avec a≥b≥ c≥. . .

Avecc= 1, les premières séquences d’exposantsa, b, c sont

1,1,1 donnant k = 8, n = 30, mais k = 8 pour la séquence 3,1 donnant n= 24 ; la suppression du dernier facteur conduit à doubler la contribution à kd’un autre facteur p^e, passant àp^2e+1; cela réduit le nombre dès lors que le facteur abandonné> p^e+1.

2,1,1 donnantk= 12,n= 60,k= 12 pour la séquence 3,2 donnantn= 72 et la séquence 5,1 donnantn= 96, mais 60<72<96. En effet, les facteurs p^e+1 sont ici 8 et 9, >5.

On trouve ainsis(12) = 60 premier multiple de 5, puis de la même façon s(32) = 840 premier multiple de 7 (séquence d’exposants 3,1,1,1), s(96) = 27720 premier multiple de 11 (séquence d’exposants 3,2,1,1,1), s(240) = 720720 premier multiple de 13 (séquence d’exposants 4,2,1,1,1,1).

Remarque. Une autre approche de la décroissance des exposants envisage des exposants non entiers ; fixant le nombre des facteurs premiers, on ob- tients(k) par une minimisation sous la contrainte due àk, avec la méthode du multiplicateur de Lagrange. Les quantités 1 +ei sont inversement pro- portionnelles aux lnp_i.

On en tire, si lesp_i sont en nombrem, avecAetGmoyennes arithmétique et géométrique des lnpi, le minorant de s(k) exp(mG^m

√

k−mA).

Il reste à s’approcher de cette solution avec des exposants entiers. Par exemple, pour k = 18, on obtient les minorants de s(18) 131072 = 2¹⁷ pour m = 1, 273,9. . . pour m = 2 (à comparer à 288, cf. question 2), 150,2. . . pour m = 3 (à comparer à 180), 133,1. . . pour m = 4 (non réalisable en exposants entiers, k étant le produit de 3 facteurs premiers seulement).

Question 2

Le termes(k) cherché fait partie des entiersnayantd(n) =n/10 diviseurs, dont font partie 2 et 5, avec une séquence d’exposants telle qu’en ont les entiers k-partageux.

Soit n= 2^a·3^b·5^c· · ·,k= (a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)· · · a≥b≥c≥1 car 5 divisen. Cas à examiner :

2.1 nadmet un diviseur premier >5. Alors ce diviseur≥7 divisek, donc un des facteurs a+ 1, b+ 1, . . . eta+ 1≥7.

n/d(n) est le produit de 2^a/(a+ 1)≥64/7, 3^b/(b+ 1)≥3/2, 5^c/(c+ 1)≥ 5/2,p^d/(d+ 1)≥7/2 soit

n/d(n)≥(64/7)(3/2)(5/2)(7/2) = 120>10 : cas à écarter.

2.2 n, sans diviseur premier > 5, est multiple de 25. Alors 5 divise k, et a+ 1≥5. En outre b≥c≥2.

n/d(n) est le produit de 2^a/(a+1)≥16/5, 3^b/(b+1)≥3, 5^c/(c+1)≥25/3, et

n/d(n)≥(16/5)(3)(25/3) = 80>10 : cas à écarter.

2.3 Doncc= 1. Supposonsb >2, alorsa+ 1 = 2^a−2·3^b/(b+ 1) est multiple de 9,a≥8.

n/d(n) est le produit de 2^a/(a+1)≥256/9, 3^b/(b+1)≥27/4, 5^c/(c+1) = 5/2, et

n/d(n)≥(256/9)(27/4)(5/2) = 480>10 : cas à écarter.

2.4 Supposons 1 = c≤b= 1. Alors 3 divise a+ 1 = 3m. On a n/d(n) = 5·2^3m−3/m, et il faudraitm= 2^3m−4, qui est impossible ; 2^3m−4> mpour m≥2.

2.5 Donc c = 1, b = 2, puis 2^a/(a+ 1) = 4/3 d’où a = 2, n = 180, d(n) = 18, seule solution de n= 10d(n).

Reste à vérifier que s(18) = 180, correspondant à la séquence d’exposants 2,2,1. Les autres entiers à 18 diviseurs sont 288 (séquence 5,2), 768 (sé- quence 8,1) et 2¹⁷, tous >180 =s(18).

k= 18 est la seule solution de l’équation s(k) = 10k.

Question 3

Si k est premier, s(k) = 2^k−1. Choisissons k premier avec k+ 1 riche en diviseurs, ce qui permet de répartir les exposants de façon à réduire la valeur de 2^a·3^b·5^c· · ·

Par exemple, prenons k = 2111 ; 2112 = 2⁶ ·3 ·11 a 28 diviseurs. La décomposition (très fruste !) 2112 = 64·33 donnes(2112)≤2⁶³·3³²<2¹¹⁵ car 3⁸ <2¹³. Ainsis(2111)/s(2112)>2^2110−115, nombre de 601 chiffres.

De manière générale, dans la suite des nombres premiers, on a pi+1 <

2p_i ≤p²_i. Un nombre àf g diviseurs peut être construit avec la séquence d’exposants f −1, a, b, c, . . .où a, b, c, . . .est la séquence définissant s(g).

Alorss(f g)≤2^f−1(s(g))².

An donné, prenonsg quelconque >1, etf g−1 premier (il en existe une infinité, théorème de Dirichlet) avec f assez grand pour que 2^{f g−f−1} >

n(s(g))². Comme alorss(f g−1) = 2^{f g−2}, le résultat demandé est obtenu.

Par exemple, avecn= 10⁵,g= 4, s(g) = 6, 2^3f−1 >36·10⁵, 3f−1≥22, f ≥8,f = 8 donnes(31)/s(32) = 2³⁰/840>10⁶ >10⁵.

Question 4

Si k= 2ⁿ, les exposants 1 +ei sont des puissances de 2 ; soitei = 2^f −1, e_i+1 = 2^g−1.

Supposons f ≥g+ 2 ; si je remplace la séquence . . . , f, g, . . . par. . . , f − 1, g+ 1, . . ., l’exposant de pi est diminué de 2^f−1, l’exposant de pi+1 est augmenté de 2^g, et le logarithme du nombre étudié est diminué de 2^f−1lnp_i−2^glnp_i+1 > (2^f−1 −2^g+1) lnp_i ≥ 0, car p_i+1 < p²_i. De ce fait une séquence où f ≥g+ 2 ne peut fournir un entier 2ⁿ-partageux.

La séquence des “exposants d’exposants”. . . , f, g, . . .est donc décroissante au sens large avec différence limitée à 1 d’un terme au suivant. Une telle séquence est complètement décrite par les rangs i1 > i2 > . . . > im où e_i > e_i+1. Le nombre de facteurs premiers de s(2ⁿ) est i₁, l’exposant de p₁ = 2 est e₁ = 2^m −1, et n = ^Pi_j. L’exposant 2^r−1 s’applique aux facteurs premiers pi tels que ir+1< i≤ir.

Passons à s(2ⁿ⁺¹) =N⁰, à comparer àN =s(2ⁿ). Dans la liste des indices i_j des changements d’exposant, qui décritN⁰, au moins un est strictement supérieur à l’indice de même rang décrivant N, puisque la somme passe de n àn+ 1.

Si c’esti_r, examinons le nombre oùi_rest réduit de 1. Alors quep_ir a, dans N⁰, l’exposant 2^r−1, son exposant dans le nouveau nombre est 2^r−1−1, et le nouveau nombre est N⁰/q, où q estp_ir à la puissance 2^r−1.

N⁰/q a 2ⁿ diviseurs, s’il diffère deN, il est> N.

Dans N, pir a un exposant 2^s−1. On obtiendra un nombre ayant 2ⁿ⁺¹ diviseurs en multipliant N parp_ir à la puissance 2^s, soitN q⁰. Observons ques≤r−1 cari_r est supérieur à l’indice de même rang dans la séquence de N.

Si N q⁰ n’est pas N⁰, il lui est strictement supérieur et N q⁰ > N⁰ > N q, q⁰ > q,s > r−1, contradiction qui prouve la propriété de l’énoncé.

Réciproquement N⁰ =N q, obtenu à partir deN =s(2ⁿ) en prenant pour qle plus petit (rvariant de 0 àm, en référence aux indicesi_j de la séquence de N) des nombresp_ir+1 à la puissance 2^r−1.

A partir de n = 0, les rapports s(2ⁿ⁺¹)/s(2ⁿ) sont 2, 3, 2², 5, 7, 3², 11, 13, 2⁴, 17, 19, 23, 5²,29, . . ., soit en ordre croissant les nombres premiers aux puissances 1, 2 ou puissance de 2.