Enoncé A341 (Diophante) Abondance et déficience
Tout entier naturel n dont la somme de ses diviseurs σ(n), y compris 1 et lui-même, est strictement supérieure à 2n est appelé abondant. Il est déficient quand σ(n)<2n.(1).
Q1 Sans l’aide d’un quelconque automate, trouver un couple d’entiers na- turels consécutifs (n, n+ 1) qui sont abondants l’un et l’autre.
Q2 Démontrer que quel que soit l’entier k fixé à l’avance, on sait trouver k entiers naturels consécutifs qui sont tous abondants.
Q3 Trouver la plus longue suite de nombres entiers consécutifs qui sont tous déficients.
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité de suites de cinq entiers naturels consécutifs déficients.
(1) Nota pour mémoire : quand σ(n) = 2n,n est appelé nombre parfait.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Préliminaires
Le rapport σ(n)/n est le produit des rapports relatifs aux diviseurs uni- taires de n(qui décomposent nen produit de puissances de nombres pre- miers, premiers entre eux). On peut se faire une “boîte à outils” avec les rapports 1 + 1/p pour les nombres premiers à l’exposant 1, 2−2−k pour n= 2k, etc.
Tout multiple d’un nombre abondant est lui-même abondant : si σ(n) >
2n, σ(kn) inclut les produits par k des diviseurs de n, de somme kσ(n), plus 1 (au moins), d’oùσ(kn)/(kn)> σ(n)/n.
Question 1
Je cherche un nombre abondant impair. A partir des facteurs 33,5,7 qui donnent les rapports 40/27, 6/5 et 8/7, j’obtiens pour n= 945 le rapport 1920/945 = 128/63>2.
Je cherche un nombre abondant pair, premier avec le précédent. A partir
des facteurs 23 et 11 qui donnent les rapports 15/8 et 12/11, j’obtiens pour n= 88 le rapport 180/88 = 45/22>2.
Il n’y a plus qu’à trouver deux multiples de ces nombres qui diffèrent de 1. L’identité de Bachet, fournie par l’algorithme du PGCD, donne
1 = 88×247−945×23 = 21736−21735, quii forment le couple demandé.
Question 2
On sait (depuis Euler) que la série des inverses des nombres premiers est divergente.
Je peux donc constituer k ensembles disjoints de nombres premiers, la somme des inverses des nombres de chaque ensemble étant>1. Le produit des nombres d’un quelconque de ces ensembles est un nombre abondant, car le produitQ(1 + 1/p)≥1 +P1/p.
Ces k nombres abondants di sont deux à deux premiers entre eux. Le théorème chinois des restes permet alors de former un entierN tel quedi
diviseN +i, pour 1≤i≤k. Les k entiers consécutifs deN + 1 àN +k sont abondants.
Question 3
6 est le premier nombre parfait ; il n’est pas déficient et tous ses multiples stricts sont abondants. Comme 6 entiers consécutifs incluent un multiple de 6, des nombres entiers consécutifs déficients sont au plus 5, compris entre deux multiples de 6 consécutifs.
Remarque. Il existe 11 entiers consécutifs non abondants : de 1 à 11.
Question 4
Quand N croît indéfiniment, la proportion des nombres abondants a une limite comprise entre 0,2474 et 0,2480 (Deléglise 1998), soit moins de 1/4.
Dans les 12 entiers de 6n+ 1 à 6n+ 12, il y a en moyenne un peu moins de 3 nombres abondants, dont font partie 6n+ 6 et 6n+ 12. Cela veut dire qu’il n’y a pas (en général) de nombre abondant à la fois dans l’intervalle (6n+ 1,6n+ 5) et dans l’intervalle (6n+ 7,6n+ 11). Pour plus d’une valeur den sur 2, les 5 entiers de 6n+ 1 à 6n+ 5 sont tous déficients.
