obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.

(1)

E214. Les punitions de Zig et de Puce

Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:

E

1

Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.

Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il

obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.

E

2

Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement

distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une deuxième colonne le

nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A

l’inverse de Puce, il poursuit sur une troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...

Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)

^ième

colonne et ceux la k

^ième

colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau T

k

de 2019 lignes et k colonnes.

Q

1

Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.

Q

2

Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau T

k

.

Q

3

Décrire une liste de 2019 entiers telle que T

k

contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers

distincts.

Solution proposée par Stéphane Rézel

E1 :

Pour que la lecture inversée de la deuxième colonne soit identique à celle de la première, il faut une symétrie par rapport au milieu de la liste. Comme la liste possède 2019 entiers, son milieu est le 1010^ème entier. Ou bien cet entier est « 1 » et il n’apparaît qu’une seule fois dans la liste, ou c’est un autre entier impair, « 3 » par exemple, avec ses autres occurrences réparties symétriquement. Tous les autres entiers sont répartis symétriquement et sont nécessairement pairs.

Puisque nous cherchons la plus petite valeur de n, nous commençons par exemple avec 1 puis listons les

entiers pairs par ordre croissant : deux occurrences pour le « 2 », quatre occurrences pour le « 4 », six pour le « 6 », etc. jusqu’à remplir la liste.

Ainsi 2019, le nombre de lignes, est égal à 1 ajouté à la somme des entiers pairs de 2 jusqu’à n.

Avec un tel remplissage n est forcément pair, nous pouvons écrire : 2019 = 1 + 2 x ∑^𝑛/2_𝑖=1i 2018 = 2 x (n/2)(1 + n/2)/2 = (n/2)(1 + n/2) = n/2 + n²/4

d’où 2n + n² = 8072 La racine carrée de 8072 étant 89, n est proche de 89.

Pour n = 88 nous avons (88/2)(1 + 88/2) = 44 x 45 = 1980 < 2018 la liste est incomplète. Il manque exactement 38 valeurs. Il convient alors de remplacer le « 1 » choisi initialement par « 39 » pour compléter la liste.

(2)

Vérifions pour n = 86 : (86/2)(1 + 86/2) = 43 x 44 = 1892 < 2018 Il manque exactement 126 valeurs à la liste. Il faudrait remplacer le « 1 » initial par « 127 » pour compléter la liste. Or 127 étant supérieur à 88, il ne peut pas le remplacer comme candidat.

La plus petite valeur possible pour n est donc 88.

E

2

Q

1

:

Si on ne veut pas que la deuxième colonne soit l’avant-dernière (k − 1)^ième colonne, il faut que le nombre d’occurrences soit identique pour deux entiers distincts. Cela permet un groupement de résultat. Par exemple avec deux « 1 » et deux « 3 », la colonne suivante listera quatre « 2 » engendrant une colonne supplémentaire et différente ayant quatre « 4 ».

Colonne de départ

1^er

groupement

Pénultième colonne

k^ième

1 2 4 4

3 2 4 4

Le tableau suivant admet encore une colonne supplémentaire car les quatre occurrences de « 5 » vont être regroupées avec les quatre occurrences de « 2 » formant huit lignes identiques :

Colonne de départ

1^er

groupement 2^ème

groupement

Pénultième colonne

k^ième

1 2 4 8 8

3 2 4 8 8

5 4 4 8 8

Pour obtenir un maximum de colonne, il faut un nouveau regroupement à chaque nouvelle colonne. Et comme chaque nouveau regroupement nécessite un nombre d’occurrences doublé, la limite à ces regroupements est le nombre maximum de lignes dans le tableau. C’est pourquoi Zig est certain de s’arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.

Q

2

:

Pour obtenir un maximum de colonne nous partons du plus petit nombre d’occurrence c’est-à-dire 1,

permettant le plus petit regroupement de deux entiers distincts (« 1 » et « 11 » par exemple). La deuxième colonne indiquera « 1 » pour chacun d’eux. Les regroupements suivants utilisent les puissances de 2 : Deux nouvelles occurrences servent au regroupement dans la troisième colonne, quatre nouvelles occurrences dans la quatrième colonne, etc. Comme il y a 2019 lignes, la plus grande puissance de 2 pouvant apparaître dans la dernière colonne est 1024. Ces 1024 occurrences provenant du regroupement de deux séries d’entiers ayant 512 occurrences chacun.

La première colonne doit donc contenir des entiers répétés un nombre de fois égal aux puissances de 2. Précisément de 2 à 512, soit 2⁹. Nous retrouvons bien le nombre d’occurrences :

1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1024 Chaque puissance de 2 correspond à une colonne. À ces 9 colonnes s’ajoute celle du départ qui contient les deux entiers distincts. S’ajoute la deuxième colonne indiquant deux « 1 ». S’ajoutent aussi l’avant-dernière qui transforme 1024 occurrences de « 512 » en 1024 occurrences de « 1024 », et enfin la dernière colonne de répétition. Soit en tout 13 colonnes maximum.

(3)

Le tableau suivant indique le contenu des 1024 lignes de Tk permettant d’atteindre le maximum de colonnes :

Valeur de k : k-12 k-11 k-10 k-9 k-8 k-7 k-6 k-5 k-4 k-3 k-2 k-1 k

N° de colonne :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Nombre d’occurrences (entier inscrit)

1(1) 1(11) 2(2) 4(4) 8(8) 16(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

2(1) 2(2) 4(4) 8(8) 16(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

4(2) 4(4) 8(8) 16(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

8(4) 8(8) 16(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

16(8) 16(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

32(16) 32(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

64(32) 64(64) 128(128) 256(256) 512(512)

128 (64) 128 (128) 256 (256) 512 (512)

256 (128) 256 (256) 512 (512)

512 (256) 512 (512)

1024 (512)

1024 (1024)

Remarque : C’est le nombre d’occurrence qui doit être une puissance de 2. Les entiers figurant en rouge dans la première colonne auraient pu être choisis différemment. Cela n’aurait toutefois pas changé l’aspect des autres colonnes.

Le nombre maximum de colonnes du tableau Tk est 13.

Q

3

:

Nous reprenons la liste des entiers du tableau ci-dessus : 1 « 1 », 1 « 11 », 2 « 2 », 4 « 4 », 8 « 8 », 16 « 16 », 32

« 32 », 64 « 64 », 128 « 128 », 256 « 256 », 512 « 512 » auquel nous ajoutons par exemple, pour faire 2019 lignes et avoir 5 entiers distincts dans la dernière colonne, 3 « 3 », 5 « 5 », 7 « 7 » et 980 « 980 ».

La 13^ème et dernière colonne contient les cinq entiers suivants : 1024, 3, 5, 7 et 980, dont la somme fait 2019.