E214. Les punitions de Zig et de Puce ***
Zig et Puce ont chahuté en classe de mathématiques. Pour les punir, leur professeur qui n’est plus autorisé à leur faire copier cinq cents fois la même ligne, leur donne les deux exercices suivants destinés à les occuper pendant un bon moment:
E1 Puce reçoit une première liste de 2019 entiers compris entre 0 et n qu’il doit recopier sur une même colonne puis en face de chaque entier il doit écrire sur une deuxième colonne le nombre de fois où cet entier apparaît dans la première colonne.
Puce constate qu'en lisant la deuxième colonne de bas en haut, il obtient la liste de la première colonne lue de haut en bas. Déterminer la plus petite valeur possible de n.
E2 Zig reçoit une deuxième liste de 2019 entiers pas nécessairement distincts qu’il doit recopier sur une même colonne. Comme l’a fait Puce, il doit écrire en face de chaque entier sur une
deuxième colonne le nombre de fois où cet entier figure dans la première colonne. A l’inverse de Puce, il poursuit sur une troisième colonne en écrivant en face de chaque entier de la deuxième colonne le nombre de fois où il figure dans cette même colonne. Et ainsi de suite...
Zig ne peut s'arrêter que lorsque tous les entiers de la (k − 1)ième colonne et ceux la kième colonne sont ligne à ligne identiques avec k ≥ 3.Il obtient ainsi un tableau Tk de 2019 lignes et k
colonnes.
Q1 Démontrer que Zig est certain de s'arrêter après avoir écrit un nombre fini de colonnes.
Q2 Trouver le nombre maximum de colonnes du tableau Tk .
Q3 Décrire une liste de 2019 entiers telle que Tk contient le maximum de colonnes et la dernière colonne contient au moins cinq entiers distincts.
E₁ n=88
Valeur obtenue avec la liste suivante :
1980 nombres pairs et 39 nombres impairs
E2
Remarque :
Pour plus de facilité, les listes sont écrites horizontalement.
Pour l'exemple, prenons une liste de 5 nombres.
1) La liste [a,b,c,d,e,f]
devient [1,1,1,1,1,1]
devient [5,5,5,5,5]
et ne change plus
2) La liste [a,a,b,c,d]
devient [2,2,1,1,1]
devient [2,2,3,3,3]
et ne change plus
3) La liste [a,a,b,b,c]
devient [2,2,2,2,1]
devient [4,4,4,4,1]
et ne change plus
On associe les sommes suivantes aux listes : 1) La liste [a,b,c,d,e,f]
devient [1,1,1,1,1,1] somme : 1+1+1+1+1+1 = 5
devient [5,5,5,5,5] somme : 5 = 5
et ne change plus
2) La liste [a,a,b,c,d]
devient [2,2,1,1,1] somme : 2+1+1+1 = 5
devient [2,2,3,3,3] somme : 2+3 = 5
et ne change plus
3) La liste [a,a,b,b,c]
devient [2,2,2,2,1] somme : 2+2+1 = 5
devient [4,4,4,4,1] somme : 4 + 1 = 5
et ne change plus
Q1 :
En fait, on regroupe les termes identiques de chaque somme. Le processus s'arrête lorsque la somme est composée de termes tous différents. Ce qui démontre que le processus s'arrête après un nombre fini d'étapes (le nombre de termes diminue si au moins deux sont identiques)
Q2 :
Il s'agit de trouver une somme donnant 2019 qui contient des termes qui peuvent se regrouper, qui donneront à nouveau une somme qui contiendra des termes qui pourront se regrouper, etc ….
Et ceci avec le maximum d'étapes, donc un minimum de regroupements à chaque fois.
Exemple avec une suite de 16 termes :
7 « colonnes » En passant par les sommes :
Pour la liste avec 2019 termes
Donc le tableau contiendra 13 colonnes (Les deux dernières identiques)
Exemple de liste pour l'étape 0 : 1 écrit 1 fois 2 écrit 1 fois 3 écrit 2 fois 4 écrit 4 fois 5 écrit 8 fois 6 écrit 16 fois 7 écrit 32 fois 8 écrit 64 fois 9 écrit 128 fois 10 écrit 256 fois 11 écrit 512 fois 12 écrit 195 fois 13 écrit 197 fois 14 écrit 199 fois 15 écrit 201 fois 16 écrit 203 fois
