A474. Les cerfs-volants de Zig et Puce
Problème proposé par Dominique Roux et Michel Texier
On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés a issus du sommet, la base b, les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit sont tous des entiers naturels.
Zig et Puce ont construit chacun un superbe cerf-volant en accolant deux Rabrentiers de même base b dont les dimensions R,a,b et r s’expriment en millimètres.
Les deux cerfs-volants tout en étant différents sont inscriptibles dans un même cercle dont le rayon est le plus petit
possible. Donner les dimensions respectives (R,a,b,r) des deux cerfs-volants.
Le rayon du cercle circonscrit est égal au produit des cotés divisé par 4 fois la surface:
= 4 2− 2
=
√4−
Le cerf-volant étant inscriptible dans un cercle, le troisième point du deuxième triangle est situé sur le cercle circonscrit du premier (et réciproquement). La grande diagonale du cerf-volant vaut donc :
= 2 = 2
√4− Et la petite diagonale vaut : =
Le coté issu du sommet du deuxième triangle vaut alors :
= 2
√4− − − 2
+ 2
=
√4− Le rayon du cercle inscrit est égal au double de la surface divisé par la somme des cotés:
=2 2− 2
2 + =√4− 22 +
An faisant varier et on demande à la calculatrice de trouver des valeurs entières pour et , avec de surcroit, au moins deux valeurs différentes de et pour une même valeur de :
4−
350 672 625 48 196 1200 672 625 252 672 1250 2 350 323 750 1200 625 200 900 1000 1200 625 300 1200 1250 2 750 480 700 1344 1250 96 392 2400 1344 1250 504 1344 2500 2 700 645 1500 2400 1250 400 1800 2000 2400 1250 600 2400 2500 2 1500 960 1050 2016 1875 144 588 3600 2016 1875 756 2016 3750 2 1050 968 2250 3600 1875 600 2700 3000 3600 1875 900 3600 3750 2 2250 1440 1400 2688 2500 192 784 4800 2688 2500 1008 2688 5000 2 1400 1290 3000 4800 2500 800 3600 4000 4800 2500 1200 4800 5000 2 3000 1920
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