Zig et Puce ont construit chacun un superbe cerf-volant en accolant deux Rabrentiers de même base b dont les dimensions R, a, b et r s’expriment en millimètres

A474. Les cerfs-volants de Zig et Puce

Problème proposé par Dominique Roux et Michel Texier

On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés a issus du sommet, la base b, les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit sont tous des entiers naturels.

Zig et Puce ont construit chacun un superbe cerf-volant en accolant deux Rabrentiers de même base b dont les dimensions R, a, b et r s’expriment en millimètres.

Les deux cerfs-volants tout en étant différents sont inscriptibles dans un même cercle dont le rayon est le plus petit possible. Donner les dimensions respectives (R,a,b,r) des deux cerfs- volants.

Solution proposée par Patrick Gordon

Un triangle isocèle est déterminé en principe par deux des dimensions R, a, b et r. Cas particulier : si l'on se donne R et b, on trouve deux solutions en a et r.

Comme chaque cerf-volant est précisément composé de deux triangles isocèles ayant en commun R et b, ce sont ces deux dimensions que l'on se donnera (deux entiers,

naturellement).

Pour que l'on trouve des "Rabrentiers", il faut encore que a et r soient entiers. Et comme on veut deux cerfs-volants différents, il faudrait trouver deux couples de solutions entières en a et r.

Au moyen de quelques relations métriques, on trouve que, en fonction des paramètres R et b, a est racine de l'équation du quatrième degré :

(1) a⁴ – 4R²a² + b²R² = 0

Comme elle n'a que des termes de degré pair en a, c'est en fait une équation du second degré en a² et elle n'a donc que deux racines positives en a, si celles de l'équation en a² le sont.

Au moyen d'un tableur, on trouve 25 pour plus petite valeur de R à laquelle corresponde une valeur de b (= 48).

Mais on n'a ainsi trouvé que deux "Rabrentiers", donc qu'un cerf-volant.

L'idée est alors de chercher pour R une valeur multiple de 25. On obtiendra ainsi des solutions homothétiques qui donneront au moins un cerf-volant.

Comme l'énoncé précise que les dimensions R,a,b et r s’expriment en millimètres on peut supposer que les cerfs-volants ont une envergure de 500 à 1.000 mm.

La plus petite valeur de R à laquelle correspondent deux valeurs de b est R = 625. Les valeurs de b correspondantes sont 672 et 1.200.

Les résultats sont les suivants.

Pour le premier cerf-volant (R = 625; b = 672), a₁ = 1.200; r₁ = 252; a₂ = 350; r₂ = 48 Pour le second cerf-volant (R = 625; b = 1.200), a1 = 1.000; r1 = 300; a2 = 750; r2 = 200