E442. A deux ou en solitaire
Zig et Puce disposent d’une grille carrée 12x12 dont les cases sont remplies avec les entiers naturels de 1 à 144. Le premier joueur barre un nombre pair puis chaque joueur barre un nombre non encore rayé parmi les multiples ou les diviseurs du nombre choisi par le joueur précédent. Un joueur est déclaré vainqueur si son adversaire ne peut plus jouer. Zig joue le premier. Lequel des deux joueurs a une stratégie gagnante ?
Le vainqueur de la partie joue ensuite en solitaire avec la même grille et selon les mêmes règles.
Son objectif est de barrer le plus grand nombre possible n de cases. Déterminer n.
Solution proposée par Claudio Baiocchi Première question.
Zig peut gagner. La stratégie gagnante la plus courte (supposant que Puce joue cherchant de délayer sa fin) semble la suivante: Zig choisit trois nombres premiers, avec (par exemple: ) de façon que les choix sont admis tandis que les choix
sont interdits; et commence jouant . Le jeu se déroulera sous la forme:
Naturellement le dernier choix 101 de Zig peut être remplacé par n’importe quel nombre premier plus grand que ; et tout autre stratégie de Puce amènerait à un match plus court.
Remarques
Si l’on remplace la famille des nombres de 1 à 144 par la famille des nombres de 1 à N (peu importe si N est un carré) la stratégie s’applique telle quelle sous la condition qu’il existe au moins trois nombres premiers avec ; la plus petite valeur de N
satisfaisant cette condition est , avec .
Par ailleurs, tout en gardant N=144, la discussion complète du problème semble hors-portée car l’arbre de jeu se ramifie très rapidement. Par exemple: si Zig commence choisissant le nombre 12, est-ce-que il existe une stratégie gagnante pour Puce? Et, plus en général: quelle est la probabilité de gain pour Zig si l’on fixe aléatoirement son premier choix?
Deuxième question.
Ici aussi la ramification de l’arbre de jeu semble empêcher un traitement complet du problème. Je crois que la meilleure stratégie consiste à demander à l’ordinateur des suites aussi longues que possible, et les corriger à la main; en effet il parait difficile introduire dans un programme une pénalisation de suites contenant des morceaux tels que …80 2 20 … (pour éviter de perdre du temps là-dessus: le terme 20 peut être supprimé et destiné à un meilleur usage futur!).
Mon programme (qui est encore en train de travailler) m’a fourni une suite qui, réélaborée à la main, est composée de 97 éléments:
87, 29, 58, 116, 4, 124, 62, 31, 93, 3, 99, 33, 66, 132, 11, 143, 13, 65, 130, 26, 78, 39, 117, 9, 63, 126, 21, 105, 35, 70, 140, 10, 120, 30, 90, 45, 135, 27, 54, 108, 18, 36, 72, 144, 2, 138, 69, 23, 115, 5, 60, 15, 75, 25, 50, 100, 20, 40, 80, 16, 64, 128, 32, 96, 24, 48, 12, 84, 28, 56, 112, 14, 42, 6, 114, 38, 76, 19, 133, 7, 119, 17, 51, 102, 34, 68, 136, 8, 88, 44, 22, 110, 55, 1, 141, 47, 94.
Naturellement rien n’empêche que des suites plus longues puissent être trouvées…
