E443. Surprise Partie - Zig et Puce jouent au loto Problème proposé par Michel Lafond
Zig et Puce jouent au loto. Zig choisit 6 numéros dans E = {1, 2, 3,...49}.
Puce doit deviner les 6 bons numéros en posant des questions à Zig sous la forme de parties P de E.
Zig répond à la question P en donnant le nombre de bons numéros figurant dans P.
Trouver une stratégie assurant à Puce la découverte des 6 bons numéros, et nécessitant le moins de questions possibles.
Nota : Les parties proposées par Puce peuvent avoir un nombre quelconque d’éléments.
Solution proposée par Paul Voyer:
L'énoncé peut être interprété de 2 façons :
Minimiser l'espérance mathématique du nombre de questions, Minimiser le nombre maximum de questions pour être certain.
Nous prenons en compte cette seconde hypothèse.
Puce peut avoir le résultat :
- Dès qu'il a eu 6 réponses positives, ou - Dès qu'il a eu 43 réponses négatives.
Mais il ne peut être certain de rien.
Avec 48 questions au maximum, Puce obtient la liste de Zig (P=1, puis 2, etc...).
Si Puce partitionne en groupes disjoints de 2 numéros, il peut connaître 6 paires incluant le bon numéro après un maximum de 24 questions.
(Il connaît aussi l'état du 49ème numéro non cité).
Avec au plus 6 questions complémentaires, il peut identifier les 6 bons numéros, un dans chaque paire.
Total=30 questions.
La poursuite de ce raisonnement pour n=3, 4, etc… doit dans les phases suivantes identifier les numéros groupe par groupe, et non plus s'appliquer globalement, sous peine de perdre de l'information sur les localisations déjà identifiées.
D'abord, quel que soit le nombre n d'éléments des groupes de la phase 1, ce qui n'est pas éliminé est constitué d'au plus 6 groupes de n, dans lesquels il existe un ou plusieurs bons numéros.
La répartition 1-1-1-1-1-1 des bons numéros dans les 6 groupes représente le cas le plus défavorable quant au nombre de questions encore nécessaires.
En effet, si l'un des groupes contient 2 éléments (ou plus), un autre (au moins) des 6 groupes n'existera pas.
Lorsqu'on divisera le groupe qui contient 2 éléments, on obtiendra une répartition soit au moins 2-0 soit au moins 1-1 dans les deux moitiés. Et on n'aura pas eu à diviser le groupe vide. L'opération aura été au pire gratuite.
De proche en proche, on arrive à la division d'un groupe de 2 ou 3 éléments, ce qui termine le processus.
Si un groupe de 3 ou 4 éléments contient 1 bon numéro, ce numéro est identifiable dans le groupe en 2 questions :
- un groupe de 2
- un numéro dans la paire.
Une partition en groupes de 3 consomme 16 questions en phase 1 et 6x2=12 en phase 2 soit au total 28 questions.
Une partition en groupes de 4 consomme 12 questions den phase 1 et 6x2 en phase 2 soit 24 questions.
Il est normal que ce nombre soit faible du fait de l'efficacité de la phase 2.
Si un groupe de 5 à 8 éléments contient 1 bon numéro, ce numéro est identifiable dans le groupe en 3 questions :
- un groupe de 4
- une paire dans ce groupe - un numéro dans la paire.
Une partition en groupes de 5 consomme 9 questions en phase 1 et 6x3 en phase 2 soit 27 questions.
Une partition en groupes de 6 consomme 8 questions en phase 1 et 6x3 en phase 2 soit 26 questions.
Une partition en groupes de 7 permet d'identifier 6 groupes de 7 en 6 questions.
Une partition en groupes de 8 permet d'identifier 6 groupes de 8 en 6 questions.
Cela revient au même pour la suite.
On a donc le résultat en 6+6x3 = 24 questions au maximum.
Ex aequo avec des groupes de 4 en phase 1.
